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Joel FINE


coordonnées


Faculté des Sciences
Joel FINE
tel 02 650 58 42, fax 02 650 58 67, Joel.Fine@ulb.ac.be
http://homepages.ulb.ac.be/~joelfine/
Campus de la Plaine
CP218, boulevard du Triomphe, 1050 Bruxelles




unités de recherche


Géométrie différentielle et algèbre [Differential Geometry and Algebra]



projets


Géométrie complexe, symplectique et de contact, quantification et intéractions (ARC) [Complex, symplectic and contact geometry, quantisation and interactions (ARC)]
Ce projet de recherche implique trois sujets inter-connectés : la quantification, la géométrie symplectique et la géométrie de Kähler. Cette recherche suivra deux directions principales : l'utilisation d'idées de la géométrie de l'application moment et l'utilisation de flots géométriques [This research project involves three inter-linked subjects: quantisation, symplectic geometry and Kähler geometry. The research will follow two main directions: the use of ideas from moment-map geometry and the use of geometric flows.]

Géométrie kählerienne [Kahler Geometry]
Une métrique kählerienne extrémale, quand elle existe, est un représentant canonique pour sa classe de Kähler. L'existence d'une telle métrique a été conjecturée équivalente à la stabilité de la variété polarisée qui la porte. Via la quantification, il y a un lien fort entre les métriques extrémales et les plongements projectifs qui sont équilibrés. En plus de ces aspects, on s'intéresse aussi à la production de métriques extrémales par l'analyse géométrique. Un outil pour cette approche est le flot de Calabi, qui essaye de déformer une métrique donnée vers une métrique extrémale. La quantification de ce flot est le flot d'équilibrage, un certain flot sur l'espace des plongements projectifs. On cherche à mieux comprendre le flot de Calabi via le flot d'équilibrage. [Extremal Kähler metrics, when they exist, are ''canonical'' representatives of their Kähler class. Their existence is conjecturaly equiavlent to the stability of the underlying polarised variety. Via quanitsation, there is a strong connection between extremal metrics and balanced projective embeddings. In addition to these aspects we also consider the production of extremal metrics via geometric analysis. One tool for this is the Calabi flow which attempts to deform a given Kähler metric to an extremal one. The quantization of this flow is balancing flow, a certain flow on the space of projective embeddings. We are intereseted in better understanding Calabi flow via the projective geometry of balancing flow. ]

Connexions définies [Definite connections]
Une SO(3)-connexion sur une variété de dimension 4 est dite définie si sa courbure est non-nulle sur tout 2-plan tangent. Etant donnée une telle connexion, le fibré en 2-sphère correspondant est muni d'une structure symplectique. Une connexion définie a un signe : positif pour une variété de Fano et négatif pour une variété de Calabi-Yau. L'étude des connexions définies mène à la construction d'exemples, notamment en utilisant la géométrie hyperbolique, ainsi qu'à des tentatives pour mieux comprendre les variétés de dimension 4 qui portent une connexion définie. Il y a un flot géométrique qui essaye de déformer une connexion définie donnée vers une qui satisfait une certaine EDP. La compréhension de la formation de singularités dans ce flot est un étape importante pour comprendre quelle sont les variétés qui portent une connexion définie. [An SO(3)-connection on a 4-manifold is called definite if its curvature is non-zero on every tangent 2-plane. Given such a connection the corresponding 2-sphere bundle carries a natural symplectic structure. Definite connections carry a sign, + corresponds to Fano manifolds, - to Calabi-Yaus. The study of definite connections involves both the construction of examples, most notably via hyperbolic geometry, as well as attempts to understand which 4-manifolds admit definite connections. There is a geometric flow which attempts to deform a given definite connection into one which solves a certain PDE. Understanding singularity formation in this flow is an important step forward in understanding which 4-manifolds support definite connections. ]

La géométrie complexe des fibrés plat sur les variétés hyperboliques de dimensions 3 [Complex geometry of flat bundles over hyperbolic 3-manifolds]
Le fibré des repères X sur une 3-variété hyperbolique M est, de manière naturelle, une variété complexe avec fibré canonique trivial. Celà nous permet de donner une description holomorphe des fibrés vectoriels plats sur M. Dans un premier lieu, on peut voir qu'un SL(2,C)-fibré plat au-dessus de M définit une structure complexe alternative sur X. Ou bien on peut fixer la structure complexe et le pullback de M d'un fibré vectoriel plat est, de manière naturelle, un fibré vectoriel holomorphe sur X. Cette procédure donne un plongement de la théorie de Chern-Simons de M dans la théorie de Chern-Simons holomorphe de X. On peut espérer que les techniques de l'une résolvent des problèmes de l'autre. Par exemple, étant donné un fibré plat au-dessus de M muni d'une métrique hermitienne, la métrique tirée-en-arrière sur le fibré holomorphe est hermitienne-Einstein si et seulement si la métrique originale est harmonique. De là nous voulons voir si la théorie des applications harmoniques peut nous éclairer sur la comprehension du comportement des connexions hermitiennes-Einstein sur X. [The frame bundle X of a hyperbolic 3-manifold M is naturally a complex manifold with trivial canonical bundle. From this it is possible to give a holomorphic interpretation of flat vector bundles over M. In one direction, one can interpret a flat SL(2,C)-bundles over M a defining an alternative complex structure on X. Alternatively, one can fix the holomorphic structure on X, then the pull-back of flat complex vector bundles on M are naturally holomorphic vector bundles on X. This procedure embeds the Chern-Simons theory of M in the holomorphic Chern-Simons theory of X and one may hope to use techniques from one side to solve problems in the other. For example, given a flat bundle over M with a Hermitian metric, the pull-back metric in the holomorphic bundle is Hermitian-Einstein if and only if the original metric is harmonic. From here we intend to investigate if the theory of harmonic maps can shed light on the behaviour of Hermitian-Einstein connections over X.]



prix


Consolidator Grant du Conseil de la Recherche Européen (ERC)



disciplines et mots clés déclarés


Géométrie riemannienne, intégrale, symplectique et de poisson Géométries différentielle et infinitésimale Topologie algébrique, topologie différentielle

analyse géométrique application harmonique connexions fibré plat flot de calabi flots géométriques géométrie de contact géométrie de kähler géométrie hyperbolique géométrie kählerienne géométrie riemannienne géométrie symplectique métrique hermitienne métriques extrémales plongements équilibrés quantification quantification théorie de chern-simons variétés de dimension 4 variétés projectives