Intégration Intégrale de Riemann Définition Sommes de Darboux
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Sommes de Darboux

Soit f une fonction bornée sur . On considère une subdivision s de qu’on note :

.

On pose pour .

Définitions. On appelle

  1. somme de Darboux inférieure associée à f et s le nombre
  2. somme de Darboux supérieure associée à f ets le nombre



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Dans les démonstrations on omettra et f dans les notations concernant les sommes de Darboux, et on notera S l’ensemble des subdivisions de .

 

Propriétés des sommes de Darboux

Proposition 1. Quelle que soit la subdivision s Î S , on a :

.

Démonstration immédiate.

Proposition 2. Si s est une subdivision plus fine que s ’(sÌ s ) alors :

.

Preuve : on passe de s à s en ajoutant un nombre fini N de points, c’est à dire par N opérations qui consistent chacune à ajouter un point (Détails).

Proposition 3. Si s et s ’sont deux subdivisions quelconques de , on a alors :

.

Preuve : on a, d’après la proposition 2

.

Définition :

L’ensemble non vide est borné supérieurement, on note sa borne supérieure,

L’ensemble non vide est borné inférieurement, on note sa borne inférieure. On a immédiatement :

.

 

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Groupe MMM Maths L'UTES Université Pierre et Marie Curie (Paris 6)