MicroFAQ > Utilité > Détail de la maximisation d'une fonction d'utilité de type Cobb-Douglas

Examinons le comportement d’un consommateur rationnel qui consomme deux biens : le bien A et le bien B. Supposons que la fonction d’utilité de ce consommateur est de type Cobb-Douglas :

Pour les fonctions dont la somme des exposants fait 1 (cas particulier des fonctions Cobb-Douglas), la maximisation se trouve ici.

On peut distinguer trois étapes dans la résolution de ce problème.

Première étape : poser le problème

Le problème du consommateur est le suivant (il maximise l’utilité qu’il retire de la consommation d’un panier composé des biens A et B tout en tenant compte de sa contrainte budgétaire) :

où PA désigne le prix de A, PB le prix de B et Y le revenu (ou budget) du consommateur. L’égalité de la contrainte indique que le consommateur dépense tout son revenu dans la consommation de A et B.

Pour résoudre ce problème, il faut trouver les quantités de A et de B qui composent le panier optimal du consommateur.

Deuxième étape : utiliser la condition d’optimalité

Nous savons qu’à l’optimum, la condition suivante doit être respectée :

Les utilités marginales peuvent être calculées en dérivant (partiellement) la fonction d’utilité par rapport à A ou B :

La condition d’optimalité est donc la suivante :

Troisième étape : combiner la condition d’optimalité et la contrainte budgétaire

L’étape suivante consiste à combiner cette condition d’optimalité avec la contrainte budgétaire :

Note : si vous cherchez l’équation de la demande pour A ou B, ou si vous voulez calculer la part du revenu consacrée à la consommation de A ou B, ne remplacez pas les prix ou Y par des valeurs ! Si vous voulez juste calculer les quantités à l'optimum, vous pouvez remplacer les variables par les chiffres dont vous disposez à ce stade-ci.

Trouver la demande pour A

En substituant PBB dans la contrainte, on obtient :

Cette dernière équation nous indique la part du revenu qui est allouée à la consommation de A (sachant que PAA représente les dépenses liées à la consommation de A). Cette part est

Note : si vous aviez au préalable remplacé PA ou Y par un chiffre, il aurait été difficile de calculer cette part.

La demande pour A fait la relation entre les quantités demandées et le prix de A. Ceci peut être obtenu simplement en reprenant la dernière équation et en isolant A :

La demande est bien décroissante (hyperbole équilatère) et l’élasticité est constante et unitaire.

Si vous aviez remplacé PA, PB et Y par des valeurs à la fin de la deuxième étape, vous auriez trouvé la quantité de A consommée par le consommateur à l’optimum pour ces valeurs.

Trouver la demande pour B

En partant de

si l’on substitue PAA dans la contrainte, on obtient

Cette dernière équation permet d’obtenir la part du revenu consacrée à la consommation de B, à savoir

De la même manière que pour A, on peut obtenir la demande pour B, qui a les mêmes propriétés que la demande pour le bien A:

Si vous aviez remplacé PA, PB et Y par des chiffres, vous auriez trouvé la quantité de B consommée par le consommateur à l’optimum pour ces valeurs.