MicroFAQ > Monopole - Concurrence parfaite - Concurrence imparfaite > Théorie des jeux avec paramètres

Considérons un jeu où deux joueurs (A et B) ont chacun le choix entre les stratégies S1 et S2.
Les gains des 2 joueurs (connus par ceux-ci) sont représentés dans le tableau suivant sous la forme (Gain de A ; Gain de B).

Comment devraient se comporter A et B face à ce jeu ?

Essayons de réfléchir en terme de stabilité. Nous désignons les combinaisons de stratégies par (Stratégie de A ; Stratégie de B).

- Est-ce que (S1 ; S1) est une situation stable ? Non, car le joueur A aura plutôt intérêt à choisir S2 (afin d’augmenter son gain de 3 à 4), tandis que le joueur 2 voudra dévier en S2 (pour avoir un gain de 4 plutôt que de 3).
- En (S1 ; S2), A aura intérêt à choisir la stratégie S2 afin de faire passer son gain de 0 à 1. B n’a pas intérêt à dévier dans cette situation.
- En (S2 ; S1), A n’a pas intérêt à dévier, mais B va préférer la stratégie S2 qui lui donne un gain de 2 plutôt que de 1.
- En (S2 ; S2), aucun des joueurs n’a intérêt à dévier, il s’agit d'un Equilibre de Nash. Aucun des joueurs ne peut faire mieux en modifiant unilatéralement sa stratégie.

Notons que comme seule la stratégie (S2 ; S2) s'est avérée être un Equilibre de Nash, nous avons aussi établi que l'Equilibre de Nash est unique dans ce jeu. Dans d'autres situations, il peut y avoir plus d'un équilibre de Nash (voir plus loin).

Schématiquement, on peut représenter ces déviations par :

Attention : Il est plus difficile (et déconseillé) de réaliser un tel schéma dans un jeu avec plus de 2 joueurs ou plus de 2 stratégies.

On peut également constater que quelque soit la stratégie de B, il sera toujours optimal pour A de choisir la stratégie S2 (le gain de S2 est toujours supérieur ou égal au gain de S1) => S2 est la stratégie dominante pour A.

De la même manière, quelle que soit la stratégie de A, B aura toujours intérêt à choisir S2 => S2 est la stratégie dominante de B.

L'équilibre de ce jeu est donc appelé un équilibre en stratégies dominantes.

On peut remarquer grâce à cet exemple qu’un équilibre de Nash n’est pas forcément la situation la plus avantageuse pour les deux joueurs. En effet, si les deux joueurs avaient choisi chacun la stratégie S1, ils auraient tous les deux eu un gain de 3, ce qui est supérieur à leur gain de la situation (S2 ; S2). Cependant, ce n’est pas un équilibre car si un joueur considère que l’autre va choisir S1, il est plus avantageux pour lui de choisir de dévier en S2.

Il est possible d’envisager dans certains cas une coopération/collusion entre A et B qui leur permette de maintenir une situation (S1 ; S1). La structure des gains de ce jeu a en fait été choisie pour illustrer le dilemme du prisonnier. Ces jeux ont un équilibre en stratégie dominante (qui est donc nécessairement unique) mais la collusion entre les joueurs leur permettrait à tous d'augmenter leurs gains.

Remarque : une situation dans laquelle tous les joueurs peuvent augmenter leurs gains est appelée inférieure au sens de Pareto. On dit qu'une situation est optimale au sens de Pareto s'il n'est pas possible d'augmenter les gains ou le bien-être d'un individu sans réduire les gains ou le bien-être d'un autre individu.

Dans ce jeu, (S2 ; S2) n’est donc pas optimal au sens de Pareto car il est possible de trouver une situation (S1 ; S1) qui améliore les gains des deux joueurs. Notez par contre que toutes les autres situations sont optimales au sens de Pareto. Ce critère d'optimalité n'est pas nécessairement un critère d'efficacité.

Equilibre strict et non strict

Considérons le jeu suivant :

(S2 ; S1) n’est pas un équilibre de Nash car A a intérêt à choisir S1.

(S1 ; S2) n’est pas un équilibre de Nash car B a intérêt à dévier en S1.

(S1 ; S1) et (S2 ; S2) sont quant à eux des équilibres de Nash, car dans ces situations un joueur (A ou B) ne peut pas faire mieux en choisissant la stratégie alternative. Le gain de chaque joueur est au moins aussi bon que le gain qu’il recevrait en choisissant unilatéralement une autre stratégie.

L’équilibre de Nash strict est un équilibre de Nash où le gain de chaque joueur doit être strictement meilleur que le gain résultant d’une déviation unilatérale du joueur.

Dans l’exemple ci-dessus, (S1 ; S1) est le seul équilibre de Nash strict.

Jeu avec paramètres

Si l’on considère que certains gains dépendent de paramètres, il faut approcher le jeu conditionnellement à ces paramètres. Par exemple, si les gains de la situation (S1 ; S1) dans le jeu précédent sont représentés par (;1– β), le jeu devient :

On peut distinguer 4 cas (avec des inégalités strictes) :

- si < 4 et 1– β < 4 (ce qui est équivalent à β > -3), le schéma des déviations est

C’est la situation que nous avions dans le premier exemple.

- si > 4 et 1– β < 4 (ce qui est équivalent à β > -3), le schéma des déviations est

Equilibre de Nash (strict) en (S2 ; S2).
Pas de stratégie dominante pour A.
Stratégie dominante pour B : S2.

- si < 4 et 1– β > 4 (ce qui est équivalent à β < -3), le schéma des déviations est

Equilibre de Nash (strict) en (S2 ; S2).
Stratégie dominante pour A : S2.
Pas de stratégie dominante pour B.

- si > 4 et 1– β > 4 (ce qui est équivalent à β < -3), le schéma des déviations est

Equilibres de Nash (strict) en (S1 ; S1) et (S2 ; S2)
Pas de stratégie dominante pour A.
Pas de stratégie dominante pour B.