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Les noeuds
IV. La recherche d'invariants

Les deux principaux problèmes auxquels la théorie mathématique des noeuds doit faire face peuvent se résumer de la manière suivante:

Afin de trouver une réponse satisfaisante à ces questions, les mathématiciens associent à chaque noeud existant une quantité caractéristique, appelée l’invariant du noeud, dont la valeur reste constante quelles que soient les déformations topologiques subies par ce même noeud. Actuellement, tous les invariants connus sont incomplets (sauf peut-être les invariants de V. Vassiliev) en ce sens que deux noeuds non-équivalents peuvent parfois avoir une valeur d’invariant identique et sont de fait indistinguables par cet invariant. Par contre lorsque deux noeuds quelconques ont une valeur d’invariant différente, nous pouvons conclure à la non-équivalence de ceux-ci.

 

1/ Nombre minimal de dénouage:

Le nombre de dénouage d (N) d’un noeud N correspond au minimum de croisements à inverser dans l’une de ses projections afin de le transformer en un noeud isotope au noeud trivial. Le nombre minimal s’obtient quand nous envisageons l’ensemble des projections du noeud, ce qui rend souvent la recherche de d (N) compliquée: en effet, qu’est ce qui nous prouve qu’il n’existe pas une projection particulière de N pour laquelle le nombre de dénouage est inférieur à celui trouvé ? Cet invariant ne distingue pas les noeuds premiers entre eux car ils ont tous un d (N) identique à l’unité.

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2/ Nombre minimal de ponts:

Nous désignons sous le qualificatif de brin tout arc du noeud N dont la projection montre qu’il passe au-dessus d’au moins un autre brin de ce noeud mais jamais au-dessous. Le nombre minimal de ponts p (N) correspond alors au minimum de ces passerelles -la passerelle étant un brin de longueur maximale- en tenant compte de la totalité des projections du noeud. Si le noeud trivial a un p (N) équivalent à l’unité, il est cependant impossible d’opérer une classification des différents noeuds premiers puisque leur p (N) vaut toujours 2.

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3/ Nombre minimal de croisements:

Considérant les différentes projections possibles du noeud N, cet invariant, noté c (N) , représente le nombre de croisements minimum. A nouveau, lorsque le nombre de croisements devient considérable, il n’est pas garanti que le c (N) trouvé soit minimal. Un cas particulier concerne les noeuds alternants à j croisements et ayant une projection plane réduite (c-à-d. ne comportant aucun croisement facilement éliminable): leur c (N) est égal à j , nous avons donc affaire à un noeud d’ordre j.

c (N) noeud correspondant
0 noeud trivial
1 pas de noeud
2 pas de noeud
3
noeud de trèfle noeuds4-03.gif (2161 octets)
4 noeud en huit
5 il existe déjà deux noeuds qui ne sont pas équivalents

 

4/ Tricolorabilité:

En conservant la définition du terme brin introduite précédemment un noeud est dit tricolorable si chacun des brins de sa projection peut être coloré à l’aide d’une parmi trois couleurs et ce, de sorte qu’à chaque croisement aboutissent soit les trois couleurs soit une seule des trois seulement. Le noeud trivial n’étant pas tricolorable, cet invariant semble intéressant pour déterminer si un noeud quelconque est noué ou pas. Malheureusement, il y a des noeuds non-tricolorables qui sont manifestement noués, comme par exemple le noeud en huit.

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5/ Nombre d’enlacements:

Le nombre d’enlacements d’un entrelacs orienté E, que nous symboliserons par e (E), est égal à la demi-somme des valeurs des croisements entre les différentes composantes de cet entrelacs.

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6/ Invariant gourmand:

Noté G (N) cet invariant géométrique est égal au nombre minimum d’anses non-entrelacées qu’il faut ajouter à une sphère pour pouvoir disposer le noeud N sur la surface obtenue et ce sans que ce noeud ne présente de point de croisement dans l’espace. Le noeud trivial constitue le seul exemplaire de noeud à pouvoir être placé sur une sphère dépourvue d’anse. Toutefois, si nous considérons un tore, surface topologiquement identique à la sphère munie d’une seule anse, nous constatons qu’une infinité de noeuds ont pour G (N) la valeur 1: ils représentent la famille des noeuds toriques.

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7/ Genre:

Le genre g (N) d’un noeud est égal à la moitié du nombre minimal d’anses qu’il faut ajouter à une sphère pour pouvoir disposer ce noeud de manière à réaliser la séparation de la surface obtenue en exactement deux parties. Contrairement à l’invariant gourmand, les anses peuvent être enlacées, liées, accouplées... L’unique noeud pour lequel le genre vaut zéro est le noeud trivial. Cet invariant permet de savoir si un noeud quelconque est noué ou pas et ce, bien plus efficacement que l’utilisation de la tricolorabilité. Une propriété remarquable du genre g (N) concerne les noeuds composés à savoir que: g (A#B) = g (A) + g (B) .

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Le noeud de trèfle formant le contour de cette surface
g [ Noeud de trèfle ] = 1

 

8/ Groupe:

L’invariant algébrique décrit les diverses manières de se déplacer dans l’espace à trois dimensions sans jamais rencontrer le noeud qu’il contient. Nous appelons complément du noeud l’espace 3D auquel nous soustrayons le volume occupé par ce même noeud.

Choisissons pour origine un point arbitraire dans le complément du noeud N. Deux chemins, fermés et orientés, sont équivalents s’il existe une façon de déformer l’un en l’autre sans jamais couper le noeud. Ces déformations portent le nom d’homotopies. Soient [a] , [b] et [c] , respectivement les classes des chemins homotopiques aux chemins a, b, c. Nous pouvons définir une multiplication entre classes telle que [a].[b] = [c] où les éléments de c valent a.b autrement dit un chemin c part de l’origine en suivant un chemin a avant de parcourir un chemin b La multiplication des classes est une opération associative ( [a].[b] ).[c] = [a].( [b].[c] ) possédant pour élément neutre la classe [e] du chemin trivial [a].[e] = [e].[a] = [a] ainsi qu’un élément inverse par classe d’homotopies: [a].[a-1] = [a-1].[a] = [a] où a-1 correspond au chemin parcouru en sens inverse. Bien que la multiplication des classes ne soit généralement pas commutative ( [a].[b] n'est pas [b].[a] ) l’ensemble des classes d’homotopies des chemins du complément du noeud, muni de la multiplication, constitue une structure algébrique nommée groupe.

Le groupe d’un noeud peut être défini à l’aide de quelques-uns de ses éléments, appelés les générateurs, munis d’égalités appelées les relations. Une présentation possible du noeud trivial se résume à un générateur unique [x] sans relation. Aucun autre noeud ne possédant une telle présentation de son groupe, cet invariant permet, en théorie, le repérage de tout noeud non-noué, encore faut-il pouvoir trouver une projection du noeud conduisant à pareille présentation !

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Malgré l'incapacité pour le groupe de faire la distinction entre un noeud et son image-miroir, et par conséquent entre certains noeuds composés tels que les noeuds plat et de vache, il constitue un invariant particulièrement efficace dans la classification des noeuds toriques. Tout noeud torique tourne p fois autour du creux central du tore et q fois autour de sa petite section, de sorte qu'un chemin homotopique à p tours de type a est déformable en un chemin homotopique à q tours de type b.

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9/ Polynôme d’Alexander (1928):

Historiquement, il s’agit du premier polynôme à avoir été associé aux noeuds en mathématiques. Lié au groupe, il peut être construit d’après le nombre et le type de croisements rencontrés lorsque nous nous déplaçons le long d’une projection quelconque du noeud. Noté D(t) , il ne permet pas de répondre complètement à la question de savoir si un noeud quelconque est noué ou pas, puisqu’il existe des noeuds d’ordre 11 ayant un D(t) identique à celui du noeud trivial. Ce polynôme ne différencie pas un noeud N de son image-miroir mais réussit cependant à démontrer la non-équivalence de tous les noeuds premiers jusqu’à l’ordre 8.

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D (t) = 1 D (t) = t2 - t + 1

Voici quelques propriétés remarquables de cet invariant:

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10/ Polynôme de Jones (1984):

Cet invariant V (t) est plus précis et plus efficace que le polynôme d’Alexander. En effet, il répond entièrement à la première question de la théorie des noeuds et est capable de différencier un noeud N de son image dans un miroir. En outre, ce polynôme permet d’étudier l’alternance des noeuds. Néanmoins, il ne répond toujours pas complètement à la seconde question, sauf pour l’ensemble des noeuds premiers d’ordre inférieur ou égal à 10.

Afin de calculer le polynôme de Jones d’un noeud N quelconque, il faut au préalable déterminer son polynôme de crochet < N > , objet qui reste invariant par les mouvements d’avancée et de glissement mais pas de torsion. Trois règles doivent impérativement être respectées:

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Il suffit donc de rompre successivement tous les croisements de la projection du noeud N, jusqu’à ce qu’il n’en reste plus aucun et d’appliquer simultanément les règles énoncées ci-dessus. Les effets dus à un mouvement de torsion peuvent être contrecarrés en multipliant < N > par un coefficient qui dépend du vrillage du noeud N, le vrillage E (N) étant égal à la somme des croisements munis du signe de leur orientation.

=> X (N) = (-a)-3E(N) . < N > => V(t) = (-t1/4)-3E(N) . < N > en remplaçant a par t1/4

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V(t) = - t4 + t3 + t V(t) = - t-4 + t-3 + t-1

 

11/ Polynôme de HOMFLY (1985):

Bien que ce polynôme à deux variables constitue un invariant plus puissant que les deux précédents -il contient leurs informations respectives- , il reste malheureusement incomplet.

 

12/ Invariants de Vassiliev (1989):

L’objectif de V. Vassiliev n’était pas d’élaborer un invariant numérique supplémentaire, il les recherchait tous ! Basé à l’origine sur la théorie des singularités, un invariant d’ordre n est une fonction associant à un noeud N une valeur numérique et liant chaque point double d’un noeud singulier à ses deux résolutions possibles. Il nous reste encore à les rendre explicitement calculables et à prouver, comme le pensent généralement les théoriciens, qu’ils forment un système complet.


Université Libre de Bruxelles

MATsch - Responsable technique : matsch @ ulb.ac.be (sans les espaces)

Mise à jour: Novembre 2000