La théorie des noeuds constitue un des champs de la topologie, branche des mathématiques qui s’intéresse à la préservation des propriétés géométriques d’un objet sous l’action de déformations continues, excluant coupures et déchirures.

Si communément le terme de noeud désigne un morceau de ficelle dont les deux extrémités sont libres, pour les mathématiciens, au contraire, il s’agit toujours d’une courbe fermée placée dans l’espace et ne présentant aucun point d’intersection. Le passage du noeud concret à son homologue abstrait nécessite donc l’épissage des bouts du noeud réel entre eux. Cette différence a pour conséquence que si nous pouvons toujours défaire, parfois avec beaucoup de patience, n’importe quel noeud  "physique" en faisant glisser une des extrémités libres à travers les boucles de ce noeud, il en va tout autrement en mathématiques.

Généralement, nous utilisons des projections planes du noeud N en repérant les croisements, lieux où la courbe fermée s’intersecte selon la projection envisagée, de la manière suivante: le brin passant au-dessus est dessiné en continu et celui passant au-dessous est interrompu. Nous optons pour le modèle tubulaire du noeud à savoir que le tracé est épaissi comme si le noeud était entouré d’une gaine tubulaire flexible et résistante.

Pour passer d’une projection quelconque d’un noeud N à une autre de ses projections, il nous suffit d’appliquer une combinaison des trois mouvements de base introduits en 1926 par Reidemeister: l’avancée, la torsion et le glissement.

• les noeuds N et M sont dits isotopes si nous pouvons passer de l’un à l’autre par des manipulations continues du genre de celles introduites par Reidemeister.
• les noeuds N et M sont dits équivalents s’ils sont isotopes ou si l’un est isotope à l’image de l’autre dans un miroir. D’après ce qui précède, chaque noeud est donc forcément équivalent à sa propre image-miroir mais seuls les noeuds réflexifs sont isotopes à leur image dans un miroir. Le noeud en huit est un bon exemple de ce genre de noeuds, noeuds par ailleurs assez rares.

Un noeud non-trivial est dit premier s’il ne peut être décomposé que par le noeud trivial et par lui-même. Tout comme pour les entiers positifs, il en existe une infinité (ex. le noeud de trèfle, le noeud en huit, ...). Tout noeud non-trivial peut se voir décomposer en un nombre fini de noeuds premiers. Il est donc impossible de dénouer un noeud non-trivial en le composant avec un quelconque autre noeud.

Un entrelacs est constitué d’un ensemble de boucles fermées, nouées ou non, emmêlées les unes dans les autres et séparables ou pas. Par conséquent, les noeuds sont des cas particuliers d’entrelacs à une seule composante. Ci-après, nous avons représentés trois entrelacs élémentaires:

• la chaîne de Hopf, entrelacs à deux composantes inséparables et non-nouées.
• la chaîne de Whitehead, entrelacs à deux composantes inséparables et non-nouées.
• les anneaux de Borromée, entrelacs dit brunnien car le retrait d’une seule des trois composantes libère les deux autres, donnant alors naissance à l’entrelacs trivial à deux composantes.

Le passage aux graphes des noeuds devient absolument nécessaire lorsque nous désirons établir un lien avec la mécanique statistique. Inversement, il est toujours possible de passer d’un graphe planaire au noeud qui lui est associé, voire même à la création de superbes entrelacs, à la manière des enluminures celtes ou des monuments funéraires irlandais.