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Un siècle de découvertes mathématiques


Axiomatique, théorie du raisonnement

1895 Cantor Montre que l’ensemble de tous les ensembles ne peut exister (par une contradiction dans le calcul de son cardinal).
1897 Burali-Forti Par un paradoxe, montre qu’on ne peut définir en toute liberté des ensembles d’ensembles.
1899 Hilbert Axiomatique complète de la géométrie plane et spatiale, sans référence à la notion « commune » de points et droites.
Montre que les axiomes de la géométrie euclidienne sont exempts de contradiction.
1902 Russell Crise des fondements de la mathématique : une approche naïve des ensembles infinis et de la notion de définition fait apparaître des contradictions ; on est obligé de prévoir plusieurs niveaux de langage mathématique (un pour parler des maths, un pour parler de celui qui parle des maths etc.), et de refuser le nom d’ensemble à des collections trop vastes.
Crée avec Whitehead un système logique (théorie des types) pour obvier à ces contradictions.
1903 Hilbert Montre que les axiomes de certaines géométries non euclidiennes (Lobatchevskyi)sont exempts de contradictions.
1905 Richard Par un paradoxe, fait apparaître que toutes les méthodes de classement des objets mathématiques ne sont pas nécessairement bonnes.
1908 Zermelo puis
von Neumann,
Bernays ...
Axiomatique de la théorie des ensembles.
1910 Zermelo Enonce l’axiome du choix : étant donné une infinité d’ensembles, il existe un moyen systématique de sélectionner un élément dans chacun d’eux ; cet axiome semble raisonnable et est admis par la majorité des mathématiciens, mais peut conduire à des paradoxes.
1913 Brouwer ... Intuitionnisme : refuse l’axiomatique de la théorie des ensembles, l’induction infinie, le tiers-exclu. But : faire des mathématiques plus proches de l’intuition commune.
1920 Lukasiewicz - Skolem ... Théorie des modèles : méthodes pour fabriquer une structure répondant à des axiomes donnés.
1924 Tarski Prouve que l’axiome du choix est équivalent à la proposi-tion : « pour tout a infini, a² = a ».
v.1928 Lukasiewicz Principes de la logique floue : admet des énoncés vrais, faux et partiellement vrais ; très utilisée aujourd’hui en informatique et en robotique (Zadeh 1965).
1929 Gödel Métathéorème de la complétude : le système logique mis au point par Russell (v. 1902) peut prouver toute formule vraie de la logique classique.
1931 Gödel Théorèmes d’incomplétude : une théorie suffisamment forte pour faire de la théorie des nombres (nombres premiers etc.) ne peut prouver elle-même qu’elle est correcte. Il faut donc différents niveaux de pensée. Gentzen (1936) prouve que la démonstration est possible « de l’extérieur ».
1934 Skolem Arithmétique non standard, cohérente avec les axiomes de Peano ; permet de faire de l’arithmétique avec des entiers infinis.
1934 Zassenhaus Le « théorème des 4 ensembles », première démonstration utilisant des diagrammes de Venn.
1935 Dieudonné -
Chevalley -
Weyl ...
Création du groupe Nicolas Bourbaki, qui tente de faire de la mathématique un tout cohérent par l’usage systématique de la méthode axiomatique.
1938 Gödel L’hypothèse du continu (il n’y a pas de nombre entre À 0 et C) est cohérente avec les autres axiomes de la théorie des ensembles ; l’axiome du choix (voir 1910) aussi.
1961 Robinson - Luxemburg Analyse non standard : variante de l’analyse admettant l’existence de nombres infiniment petits. Permet parfois des démonstrations plus aisées que l’analyse standard (avec limites et e).
1963 Cohen La négation de l’hypothèse du continu (il y a des nombres entre À 0 et C ) est cohérente avec la théorie des ensembles ; voir aussi 1938 ; on ne pourra donc jamais démontrer si l’hypothèse du continu est vraie ou fausse.
1967 Bishop Prouve que la théorie des ensembles « à la Cantor » est correcte en en construisant un modèle.

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Structures diverses 

1901 Wilson - Gibbs Axiomatique des vecteurs ; analyse vectorielle (étude de fonctions dont les variables et les valeurs sont des vecteurs).
1905 Wedderburn Théorème : dans un corps dont le nombre d’éléments est fini, la multiplication est commutative. La démonstration fait appel à des sujets aussi variés que : vectoriels, classes latérales, combinatoire, divisibilité, polynômes à inconnues dans C, plan de Gauss.
(un corps est un ensemble muni d’une addition qui en fait un groupe commutatif, ainsi que d’une multiplication qui en fait un groupe, et qui distribue l’addition ; si la multiplication est aussi commutative, on parle de champ ; le théorème se réénonce donc : tout corps fini est un champ)
1908 Hensel Théorie des corps p-adiques ; des ensembles de nombres munis d’une distance aux propriétés inattendues.
1910 Steinitz Axiomatique de l’algèbre ; son cadre naturel est la théorie des corps (v. 1905 pour la définition).
1914 Fréchet Axiomatique des espaces abstraits, cadre de la topologie, et des espaces métriques, càd. avec une loi de distance.
1920 Weyl Axiomatique des espaces affins (géométrie avec parallélisme mais sans mesures).
1934 Löwig Toutes les bases d’un vectoriel ont le même cardinal.
1939 groupe Bourbaki Définit la mathématique comme l’étude des ensembles munis d’une structure. En profite pour éditer une oeuvre (encore incomplète!) étudiant systématiquement les structures.
1941 Albert Théorie des opérations non associatives.
1941 Gel’fand Théorie des algèbres normées, ou vectoriels munis d’une opération de multiplication interne et d’une distance. Utilisée en mécanique quantique.
1942 Eilenberg - McLane Théorie des catégories : donne une place centrale aux notions de loi de composition et de morphisme.
1990 Mori Progrès importants dans la classification topologique des surfaces de dimension 3.

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Théorie des groupes 

1898 Weber Première axiomatique des groupes.
1902 Huntington Axiomes « classiques » des groupes.
1906 Burnside Conjecture que tout groupe simple (càd. n’ayant pas de sous-groupe invariant) non cyclique est de cardinal pair. Les groupes simples jouent pour les groupes le même rôle que les nombres premiers.
1938 Frucht Tout groupe fini est isomorphe au groupe formé des automorphismes d’un certain graphe (isomorphismes du graphe avec lui-même), avec la loi usuelle de composition.
1947 Markov - Post Il n’existe pas d’algorithme permettant de déterminer de manière systématique si deux produits des générateurs d’un groupe représentent le même élément du groupe.
1957 Chevalley - Steinberg Suzuki - Ri Théorie des groupes simples ; construction utilisant les ressources de la topologie, de l’algèbre des champs finis, du calcul vectoriel, de la théorie des isomorphismes.
1959 Navikov Construit un groupe infini dont tous les éléments sont d’ordre fini.
1963 Feit - Thompson Démontrent la conjecture de Burnside (voir 1906).
1972 Gorenstein Etablit un programme pour la classification des groupes simples. Ce programme sera achevé en 1980 (voir cette date) par Aschbacher, Gorenstein, Fischer etc.
1980 Griess - Fischer Construisent un groupe simple de cardinal énorme, le « monstre », groupe de rotations d’un espace vectoriel de dimension 19683. Ceci achève la classification des groupes simples.
1983 Thurston Utilise les groupes d’isométries conservant des figures de papiers peints pour faire avancer la classification des surfaces de dimension 3.

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Topologie 

1902 Boy Découvre une surface pour laquelle le nombre de Poincaré est 1. Elle se recoupe.
1910 Tietze Le nombre chromatique de la surface de Möbius est 6.
(le nombre chromatique est le nombre de couleurs nécessaires pour colorier une carte sur la surface en question; la surface de Möbius est un ruban dont on a collé les extrémités après l’avoir tordu à 180°).
1912 Brouwer Théorème du point fixe : si l’on prend une feuille de papier déposée à plat, si on la froisse et si on dépose la boule sur l’ancien emplacement de la feuille, un des points de la feuille au moins se trouvera à la verticale de son ancien emplacement. Ce théorème implique qu’il est impossible de « coiffer » une sphère couverte de cheveux sans créer de pli ou d’épi ... et qu’à tout moment, il existe un point de la terre où il n’y a pas de vent.
1920 Redemeister Notion d’isomorphisme de noeuds ; début des tentatives de classification.
1926 Alexander - Briggs Décomposition des noeuds en « noeuds premiers ». La « multiplication » est ici le fait de faire deux noeuds l’un après l’autre.
1928 Alexander Attribue à chaque noeud un polynôme, la multiplication des noeuds étant isomorphe à celle des polynômes. Ceci permet une classification des noeuds, mais assez grossière ; elle sera améliorée par Jones en 1984.
1930 ? Hopf Montre que l’impossibilité de « coiffer » une sphère
(v. 1912) est liée au fait que son nombre de Poincaré est 2.
1933 Leray - Schauder Equivalent du théorème du point fixe dans un vectoriel de dimension infinie ; aide à trouver les solutions de certaines équations différentielles.
1968 Ringel - Youngs Lien entre le nombre chromatique d’une surface (voir 1910) et son nombre de Poincaré : à 3 exceptions près (sphère, plan, surface de Klein), le nombre chromatique est la plus grande solution de l’équation x² - 7x + 6l = 0 (arrondie à l’entier inférieur), où l est le nombre de Poincaré (conjecture énoncée par Heawood en 1890).
1976 Haken - Appel Toute carte sur un plan ou une sphère peut être coloriée avec 4 couleurs seulement (dém. par ordinateur).

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Algèbre et Arithmétique

1903 Cole Le nombre 267 - 1   n’est pas premier (on croyait auparavant que, si x est premier, 2x - 1  l’est aussi).
1909 Carmichael Il y a une infinité de nombres pseudo-premiers absolus.
On sait que si a est premier, alors ax- a est un multiple de n, et ce pour tout n. Un nombre pseudo-premier absolu est un nombre qui satisfait cette condition, sans toutefois être premier. Le plus petit est 561.
1923 Mordell L’équation a2 = x3 + k n’a qu’un nombre fini de solutions entières (couples a -x) si k est un nombre fixé > 0.
1929 Gel’fond formuleeexposantpi.gif (865 octets)est transcendant (voir 1930).
1930 Champernowne Le nombre 0,12345678910111213... est transcendant (n’est pas la solution d’une équation à coefficients entiers).
1932 Ingham Si x est assez grand, il existe un nombre premier entre x3 et (x+1)3 .
1934 Gel’fond - Schneider Si a est un nombre rationnel positif autre que 0 et 1, et si b est transcendant (voir 1930), alors ab   est transcendant.
1937 Vinogradov Tout nombre pair assez grand est la somme de 2 premiers ; tout nombre impair assez grand, de 3. Réponse partielle à la conjecture de Goldbach (1742), qui affirme qu’ils le sont tous.
1949 Selberg - Erdös formulelimite.gif (1136 octets)
(démonstration plus simple que celle de Hadamard et de la Vallée-Poussin en 1895, qui utilisait des fonctions sur C).
p (x) désigne le nombre de premiers < x.
1950 Shapiro Démonstration « élémentaire » que toute progression arithmétique contient une infinité de nombres premiers (1ère démonstration : Dirichlet en 1837, par l’analyse).
1952 Robinson Première preuve par ordinateur d’un résultat mathématique : 2521-1 est premier.
1957 Berger Il existe une infinité de nombres pairs m tels que am-a soit multiple de m (le premier avait été découvert par Lehmer en 1950).
1959 Bose -
Parker -
Shrikande
A part pour n = 2 et n = 6, il existe un carré gréco-latin d’ordre n (avec l’aide d’un ordinateur).
Un carré gréco-latin d’ordre n est un tableau n ´ n, dans chaque case duquel on note deux symboles, l’un pris dans une liste de n, l’autre pris dans une autre liste de n, de manière qu’aucune ligne ni colonne ne contienne deux fois le même symbole (en pratique, 2 carrés latins superposés).
1966 Baker Il n’existe qu’un nombre fini de familles de nombres x,y,m,n tels que xm-yn=1. (conjecture de Catalan : le seul cas est 32-23=1).
1970 Matijasevitch - Jones Expression d’un polynôme à 26 variables qui prend pour valeurs tous les nombres premiers, et eux seuls, lorsque les variables parcourent N.
1977 Larson Démontre que « tout nombre premier qui est supérieur de 1 à un multiple de 4, est décomposable d’une et une seule manière en somme de 2 carrés », en passant par la résolution d’un problème ... d’échecs !
1980 Cohen - Lenstra Test par ordinateur pour vérifier si un nombre est premier (nécessite à l’époque quelques secondes pour un nombre de 100 chiffres).
1988 Elkies - Fries Il existe une infinité de solutions entières de l’équation x4+y4+z4=t4. La plus petite est : x = 95800 , y = 217519, z = 414560, t = 422481 (trouvée par ordinateur).
1990 frères Chudnovsky Calcul de 2 milliards de décimales de p .
1995 Wiles Démontre la conjecture de Fermat (1637) : quel que soit n supérieur à 2, il n’existe pas d’entiers non nuls x, y, z tels que xn+yn=zn.

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Algorithmique (algorithme : méthode systématique de résolution d'un problème)

1934 Church Fait dériver tous les raisonnements que l’on peut demander à une machine de quelques opérations élémentaires. Ce qui laisse la voie libre à Turing (1936, 1er)
1936 Turing « Machine de Turing », machine automatique pouvant traiter tous les algorithmes si on lui donne assez de mémoire et de temps. Revient à démontrer que tous les ordinateurs sont isomorphes.
1936 Turing Il existe des problèmes pour lesquels on ne pourra pas trouver d’algorithme (en effet, le cardinal de l’ensemble des problèmes est supérieur à celui de l’ensemble des algorithmes). Conséquence : il n’existe aucun algorithme pour tester la véracité des énoncés mathématiques.
1943 Turing Colossus, première machine logique électronique (ordinateur).
1958 Algol : premier langage informatique adapté à la résolution de problèmes mathématiques.
1960 Rabin - Hartmanis Enoncé d’un problème admettant des algorithmes, mais aucun algorithme « efficace » (càd. qui reste assez rapide lorsque les données prennent de l’ampleur)
1970 Cook Classification des problèmes selon le degré de rapidité des algorithmes que l’on peut leur appliquer.
1970 Merkle - Diffie - Hellman puis Rivest - Shamir - Adelman Cryptographie à clef révélée, étude de codes avec lesquels on peut coder facilement en disposant d’une clef, mais pas décoder, si l’on ne dispose pas d’une deuxième clef. Utilise des propriétés des nombres premiers.
1976 Conway Jeu de la Vie, modélisant l’évolution d’une population de microbes dans une boîte. Conway a démontré qu’il existe un isomorphisme entre les parties de Jeu de la Vie et les énoncés logiques, de telle manière qu’à une population qui survit éternellement correspond une proposition vraie, et vice versa.
1985 Deutsch Imagine des ordinateurs « quantiques », ne donnant pas toujours la solution à un problème, mais hyper-rapides lorsqu’ils en donnent une.

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Géométrie, Algèbre Linéaire

1896 Peano Courbe continue recouvrant la surface d’un carré.
1900 von Koch Courbe de longueur infinie entourant une surface finie : le «flocon de von Koch», une des premières fractales (v.1975).
1935 Whitney Matroïdes, généralisation des espaces vectoriels. Permet de définir des notions telles que : indépendance linéaire, bases, etc., sans utiliser de coordonnées.
1939 Sprague Première décomposition d’un carré de taille entière en carrés plus petits, de tailles toutes différentes et entières, sans recouvrements.
1961 Richardson Généralisation de la notion de dimension à des dimensions non entières ; par exemple la côte d’un pays ; la dimension devient une mesure de la régularité.
1965 Leech Empilement particulier de sphères (ou ce qui en tient lieu) dans un vectoriel de dimension 24. Chaque sphère en touche 196560 autres. Le groupe des isomorphismes qui conservent l’empilement en échangeant les sphères joue un rôle important dans la théorie des groupes simples. Application : permet de créer un code dont les mots ont 24 bits (0 ou 1) et tel que deux mots différents aient au moins 7 bits différents (code correcteur d’erreurs).
1966 Berger Il n’y a pas d’algorithme pour savoir si un polygone ou autre objet peut recouvrir le plan sans trous ni chevauchements.
Lié à l’existence de pavages irréguliers (v. 1984).
1968 Scott Publie 367 démonstrations différentes du théorème de Pythagore.
1975 Mandelbrot Fractales : objets dont la structure est la même à quelque échelle qu’on les regarde. Une fractale a une dimension (v. 1961) non entière. Les attracteurs étranges (v. Analyse, 1971) en sont un cas particulier. Les fractales fournissent une bonne modélisation des montagnes, de la surface interne des poumons, des côtes et frontières ...
1977 Szilassi Découvre un polyèdre à 21 sommets et 7 faces, tel que deux faces quelconques se touchent. Il n’a donc pas de diago-nales ; et il faut donc 7 couleurs pour le colorier. Il a la forme d’un tore et non d’une sphère.
1978 Duijvestijn La plus petite décomposition possible d’un carré (v. 1939) est celle d’un carré de taille 112 en 21 carrés.
1984 Penrose- Shechtman- Kramer - Neri ... Quasi-cristaux : réseaux ayant les propriétés de régularité à grande échelle des cristaux, mais pas leur arrangement microscopique.
1988 Lam - Swiercz -
Thiel - McKay
Il n’existe pas de plan projectif d’ordre 10, c’est-à-dire de configuration de 111 points, regroupés en 111 droites de 11 points, deux droites se coupant toujours, et deux points étant toujours sur une droite. La démonstration, longue et informatisée, pose le problème de la validité des démonstrations invérifiables.
NB : il existe des plans projectifs de tous les ordres égaux à une puissance de nombre premier. Si l’ordre est k, il y a k²+k+1 points, autant de droites, et k+1 point par droite.

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Statistiques et Probabilités

1900 Borel Loi forte des grands nombres : si un même événement de nature quantitative (une variable aléatoire) est mesuré plusieurs fois, la moyenne des observations tendra vers la moyenne des valeurs possibles de la variable (par exemple, après un grand nombre de parties de « pile ou face » avec une pièce non truquée, on obtiendra presque exactement 50 % de chaque résultat).
1925
1930 ...
Fisher -
Neuman -
Pearson - Wald
Théorie des estimateurs : sur base d’observations statistiques partielles, donner une description aussi fiable que possible de valeurs numériques relatives à un grand ensemble d’éléments (comment réaliser un sondage « représentatif » sur un nombre limité de personnes).
1933 Kolmogorov Axiomatique du calcul des probabilités, considéré comme un cas particulier d’intégrale (voir analyse : 1898).
1938 Benford Montre que les nombres utilisés dans les sciences exactes et humaines ont plus souvent 1 que 9 comme premier chiffre.
A « deviné » le théorème en constatant que les premières pages des tables de logarithmes sont plus sales que les dernières !
1942 Metropolis - Ulam Méthode « de Monte Carlo » pour le calcul d’intégrales compliquées : on effectue le calcul sur un nombre fini mais grand de points définis aléatoirement.
1947 Dantzig Algorithme du simplexe, pour la résolution de problèmes d’optimisation sous une série de contraintes (comment maximiser la quantité de produits vendue compte tenu de limitations de matières premières, de main-d’oeuvre, d’espace pour les machines ...)
1950 Blyth - Lehmann - Hodges Montrent que la moyenne des valeurs observées est la meilleure approximation de la vraie valeur (le meilleur estimateur, voir 1930) lorsqu’on considère une seule série de données.
1961 James - Stein Montrent que la moyenne des observations n’est pas le meilleur estimateur de la vraie valeur lorsqu’on considère un ensemble de données en parallèle et proches l’une de l’autre (ici, les performances d’une série d’athlètes).
1965 Chaitin - Kolmogorov Définissent une suite de nombres aléatoire comme une suite qui ne peut être décrite en résumé.

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Analyse

1898
1902
Borel
Lebesgue
Théorie de la mesure : cadre général pour le théorie des intégrales ; permet des calculs beaucoup plus variés que la théorie « classique ».
1903 Hadamard Synthèse des idées sur l’équation de propagation des ondes, une équation différentielle très étudiée.
1903 Fredholm Théorie des équations intégrales , càd. des équations qui font intervenir simultanément comme inconnues une fonction et son intégrale.
1909 Riesz - Fréchet Théorie des espaces de fonctions : espaces vectoriels de dimension infinie munis d’un produit scalaire ; but : résoudre des équations intégrales (voir 1903).
1914 Polya Classification des fonctions de R dans R, telles que l’image de tout entier positif soit un rationnel. A part les polynômes, toutes ces fonctions croissent très vite (les exponentielles sont celles qui croissent le moins vite).
1936 Sobolev Présente une riche famille d’espaces de fonctions (v. 1909).
1945 Schwartz Théorie des distributions. Les distributions sont des applications linéaires d’un espace de fonctions vers R ou vers C. Utilité en physique quantique.
1966 Carleson Montre la cohérence de la théorie de Fourier (XIXè), qui décompose les fonctions en combinaison linéaire de fonctions sinus et cosinus.
1971 Ruelle - Takens Attracteurs étranges : ensembles de points d’un espace vers lesquels les valeurs d’une fonction convergent, mais de manière irrégulière. L’informatique permettra de les représenter, avec une certaine esthétique.
1975 Feigenbaum Découvre que la théorie des attracteurs étranges (voir 1971) est régie par un nombre (appelé depuis « de Faigenbaum ») qui pourrait prendre dans l’analyse une importance considérable. Affaire à suivre ...
1984 de Branges Une application du plan de Gauss dans lui-même, qui peut être représentée par un développement en somme de puissances, ne peut « étirer » les formes plus que l’application qui envoie z sur
z / (1-z)2  ; le coefficient de xn dans le développement ne peut être supérieur à n, quel que soit n.

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Mécanique

1895 Korteweg - de Vries Equation différentielle décrivant le mouvement des masses d’eau ; explique les phénomènes de marées intenses, les mascarets (vagues solitaires remontant les fleuves).
1896 Lorentz Détermine le groupe des transformations qui laissent invariantes les équations de l’électromagnétisme et de la propagation de la lumière (équations de Maxwell).
1905 Einstein Relativité restreinte : les transformations de Lorentz (voir 1896) ne conservent pas les masses, longueurs, temps. Conséquence : l’espace et le temps cessent d’être des notions absolues.
1908 Minkowski Espace de dimension 4, muni d’une fonction de distance « originale », cadre naturel pour l’étude de la relativité restreinte et de l’électromagnétisme.
1916 Einstein Relativité générale : ramène la gravité à une propriété géométrique de l’espace : les corps déforment l’espace autour d’eux comme un poids sur un drap tendu.
1918 Noether Les lois de la mécanique de Newton peuvent être déduites des propriétés supposées d’homogénéité de l’espace.
1918 Sundmann Solution du problème des trois corps (mouvement de trois objets soumis à l’attraction gravitationnelle les uns des autres), exacte mais inutilisable : c’est un système de 9 équations différentielles.
1925 de Broglie -
Schrödinger -
Dirac
Mécanique quantique : description du mouvement des particules atomiques ; utilise des applications linéaires entre espaces de dimension infinie.
1929 Robertson - Tolman Déterminent la forme la plus générale que peut prendre la loi de distance dans un univers soumis à la gravité.
1934 Leray Première apparition du chaos (voir 1962) et des attracteurs étranges (voir Analyse, 1971), dans l’étude de l’écoulement tourbillonnaire des fluides.
1950 Achèvement de la mécanique hamiltonienne, qui ramène l’étude des mouvements des corps ponctuels à celle d’une application linéaire (appelée « forme de Hamilton ») dans l’espace vectoriel dual de celui des droites tangentes à une certaine surface dans un espace vectoriel de dimension élevée. C’est aussi compliqué que ça en a l’air!
1962 Kolmogorov - Arnol’d - Moser Le mouvement des astres dans le système solaire pourrait être chaotique, càd. que de petites variations dans les données numériques (position et vitesse) peuvent conduire à des modifications importantes dans le mouvement ; il est donc difficile de prévoir l’évolution à long terme du système solaire (c’est le même phénomène qui rend la météo imprévisible). Confirme la complexité du problème des trois corps (voir 1909). Ce phénomène a reçu le nom d’ « effet papillon »
1972 Thom En étudiant les mécanismes de différenciation cellulaire, met au point la théorie des catastrophes : classification des situations où un système peut évoluer de deux manières différentes à partir de la même situation initiale.
1989 Laskar Le mouvement des astéroïdes est effectivement chaotique (voir 1962). Par contre, le mouvement de la lune empêche celui de la terre de devenir chaotique, et a donc joué un rôle essentiel dans la pérennité de la Vie.

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Applications 

1900 Bachelier Application de la théorie des promenades aléatoires (modélisation de la marche d’un ivrogne) à l’évolution des cours en bourse.
1912 Zermelo Montre que tout jeu opposant deux joueurs, sans intervention du hasard, sans possibilité de bluff, avec un nombre fini de coups possibles (ex. : échecs) possède une stratégie permettant à l’un des deux joueurs de gagner à coup sûr. Ne dit rien quant à la forme de cette stratégie, ni quant au gagnant.
1920 Borel Théorie mathématique des jeux ; classification des problèmes selon le nombre de joueurs et l’intervention possible d’événements aléatoires (jet de dé p.ex.)
1922 Charlier Résout le paradoxe d’Olbers (avec tant d’étoiles, pourquoi le ciel est-il noir ?) en imaginant une structure organisée, fractale, de l’univers (voir Géométrie, 1975).
1926 von Neumann Théorème du minimax : établit l’existence d’une stratégie optimale dans tout jeu opposant deux joueurs. Cette stratégie peut être soumise à des choix aléatoires (pile, je fais ceci, face, je fais cela).
1930 Kraitchik Utilisation des matrices pour représenter les résultats possible d’un jeu à deux joueurs.
1931 Rado - Doublas Résolution du problème de Plateau : détermination par le calcul de la surface minimale sous-tendue par une courbe fermée dans l’espace. Il y a une solution empirique facile, qui consiste à plonger la courbe (matérialisée par du fil de fer) dans de l’eau savonneuse et à observer la forme de la bulle ainsi créée.
1935 Volterra - d’Ancona Dynamique des populations : équations donnant l’évolution de populations animales.
1943 Nash - von Neumann Applications de la théorie des jeux aux choix de stratégies militaires.
1944 von Neumann - Morgenstern Applications de la théorie des jeux aux décisions micro-économiques. Intervention de jeux coopératifs (une alliance est possible).
1947 Golay Premier code rigoureusement déterminé afin de pouvoir repérer des erreurs de transmission (brouillage) et les corriger. Voir Géométrie, 1965.
1948 Shannon Théorie de l’information : détermination des procédures les plus efficaces pour transmettre un renseignement, et de la quantité d’information transmissible par un canal donné.
1954 Yang - Mills La théorie des particules élémentaires est régie par des groupes de transformations de particules.
1956 Li - Yang Contrairement à toute attente, la physique nucléaire est asymétrique (distingue la gauche de la droite).
1961 Hu Démontre la validité de l’algorithme du chemin critique.
1962 Doob - Meyer Les fluctuations des cours boursiers suivent une évolution moyenne partiellement prédictible (v. 1900).
1968 Dijkstra Résolution des blocages dans les centraux téléphoniques et les réseaux d’ordinateurs par l’utilisation de procédures aléatoires.
1973 Baracs Topologie structurale : théorie de la flexibilité des carcasses.
1981 Rubik Puzzle à 3 dimensions : un cube étant décomposé en 26 petits cubes aux facettes colorées, reconstituer des faces de couleur uniforme. L’ensemble des mouvements possibles forme un groupe de plusieurs milliards de milliards d’éléments. On connaît un algorithme de résolution qui fait intervenir au maximum 52 mouvements. On sait qu’il existe un algorithme en 20 mouvements au maximum, mais sa recherche est si difficile qu’il a été surnommé « algorithme de Dieu ».

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Université Libre de Bruxelles

MATsch - Responsable technique : matsch @ ulb.ac.be (sans les espaces)

Mise à jour: Novembre 2000