Géométrie différentielle et algèbre [Differential Geometry and Algebra]

Géométrie complexe, symplectique et de contact, quantification et intéractions (ARC) [Complex, symplectic and contact geometry, quantisation and interactions (ARC)]
Ce projet de recherche implique trois sujets inter-connectés : la quantification, la géométrie symplectique et la géométrie de Kähler. Cette recherche suivra deux directions principales : l'utilisation d'idées de la géométrie de l'application moment et l'utilisation de flots géométriques [This research project involves three inter-linked subjects: quantisation, symplectic geometry and Kähler geometry. The research will follow two main directions: the use of ideas from moment-map geometry and the use of geometric flows.]

Homologie de contact legendrienne et familles génératrices (ERC) [Legendrian contact homology and generating families (ERC)]
L'objectif principal de ce projet est de montrer que l'homologie pour familles génératrices et l'homologie de contact legendrienne linéarisée peuvent être définies pour la même classe de sous-variétés legendriennes, et sont isomorphes. Ce résultat peut alors être utilisé pou obtenir des résultats structuraux plus généraux sur l'homologie de contact legendrienne linéarisée, pour étendre des résultats récents sur l'existence de cordes de Reeb, et pour arriver à une bien meilleure compréhension de la géographie des sous-variétés legendriennes. [The main goal of this project is to show that the generating family homology and the linearized Legendrian contact homology can be defined for the same class of Legendrian submanifolds, and are isomorphic. This result can then be used to obtain more general structural results on linearized Legendrian contact homology, to extend recent results on existence of Reeb chords, and to gain a much better understanding of the geography of Legendrian submanifolds.]

Connexions affines et jets symétriques [Affine connections and symmetric jets]
Description des connexions affines et objets associés, comme les tenseurs de torsion et de courbure, les applications affines, etc.. en termes de ''jets symétriques''. [Description of affine connections and associated objects, like torsion and curvature tensors, affine maps, etc... in terms of ''symmetric jets''.]

Variétés symplectiques topologiques [Topological symplectic manifolds]
Etude et comparaison des différentes définitions de variété topologique symplectique. Tentatives de construction d'exemples. [Study and comparison of different definitions of topological symplectic manifolds. Tentative constructions of examples.]

Théorie de Morse multi-dimensionnelle [Multi-dimensional Morse theory]
L'objet d'étude est une application entre variétés différentiables. On considère la complexité topologique à la fois de l'image et des ensembles de niveau d'une telle application, telle qu'elle peut être mesurée par des invariants topologiques comme le rang de l'homologie ou de la cohomologie, le nombre minimal de points critiques d'une fonction de Morse propre, ... etc. [The central object is a map between manifolds. We consider the topological complexity both of the image and of the level sets of such maps as it can be measured by topological invariants such as the rank of the (co)homology, the minimal number of cells in a cell decomposition, the minimal number of generators of the fundamental group or the minimal number of critical points of a Morse function.]

Formules de déformations universelles [Universal deformation formulas]
Construction de formules de déformations universelles pour les actions de groupes de Lie symplectiques sur des $C^\star$-algèbres ou plus généralement des algèbres de Fréchet. Les groupes considérés sont les groupes de Lie kählériens d'une part et les groupes de Lie sous-jacent aux espaces symétriques (symplectiques) Jordaniens. [Construction of universal deformation formulasfor symplectic Lie group actions on C*-algebras or more generally on Fréchet algebras. The considered groups are on the one hand Kähler Lie groups and on the other hand the Lie groups subjacent to Jordanian (symplectic) symmetric spaces.]

Homologie de contact et courbes holomorphes [Contact homology and holomorphic curves]
Etude des structures de contact sur les variétés différentiables, au moyen de l'homologie de contact. Applications des courbes pseudo-holomorphes à l'espace des structures de contact et à la rigidité en géométrie de contact. [Study of contact structures on differentiable manifolds, using contact homology. Applications of pseudo-holomorphic curves to the space of contact structures and to rigidity in contact geometry.]

Systèmes Hamiltoniens et topologie symplectique [Hamiltonian systems and symplectic topology]
Etude de l'existence et du nombre d'orbites fermées dans les systèmes Hamiltoniens classiques. [Study of the existence and of the number of closed orbits in classical Hamiltonian systems.]

Rigidité du crochet de Poisson et quantification par déformation [Rigidity of the Poisson bracket and deformation quantization]
Etude via la topologie symplectique de la rigidité du crochet de Poisson quantifié associé à un produit star. [Study via symplectic topology of the rigidity of the quantized Poisson bracket associated to a star product.]

Connexions symplectiques et géométrie symplectique [Symplectic connections and symplectic geometry]
Etude des connexions symplectiques ayant certaines propriétés de courbure ou solutions d'un principe variationnel. Liens avec la réduction symplectique et avec les géométries paraboliques. Etude d'opérateurs de Dirac Symplectiques. [Study of symplectic connections having certain curvature properties or solutions of a variational principle. Links with symplectic reduction and with parabolic geometries. Study of symplectic Dirac operators.]

Géométrie kählerienne [Kahler Geometry]
Une métrique kählerienne extrémale, quand elle existe, est un représentant canonique pour sa classe de Kähler. L'existence d'une telle métrique a été conjecturée équivalente à la stabilité de la variété polarisée qui la porte. Via la quantification, il y a un lien fort entre les métriques extrémales et les plongements projectifs qui sont équilibrés. En plus de ces aspects, on s'intéresse aussi à la production de métriques extrémales par l'analyse géométrique. Un outil pour cette approche est le flot de Calabi, qui essaye de déformer une métrique donnée vers une métrique extrémale. La quantification de ce flot est le flot d'équilibrage, un certain flot sur l'espace des plongements projectifs. On cherche à mieux comprendre le flot de Calabi via le flot d'équilibrage. [Extremal Kähler metrics, when they exist, are ''canonical'' representatives of their Kähler class. Their existence is conjecturaly equiavlent to the stability of the underlying polarised variety. Via quanitsation, there is a strong connection between extremal metrics and balanced projective embeddings. In addition to these aspects we also consider the production of extremal metrics via geometric analysis. One tool for this is the Calabi flow which attempts to deform a given Kähler metric to an extremal one. The quantization of this flow is balancing flow, a certain flow on the space of projective embeddings. We are intereseted in better understanding Calabi flow via the projective geometry of balancing flow. ]

Connexions définies [Definite connections]
Une SO(3)-connexion sur une variété de dimension 4 est dite définie si sa courbure est non-nulle sur tout 2-plan tangent. Etant donnée une telle connexion, le fibré en 2-sphère correspondant est muni d'une structure symplectique. Une connexion définie a un signe : positif pour une variété de Fano et négatif pour une variété de Calabi-Yau. L'étude des connexions définies mène à la construction d'exemples, notamment en utilisant la géométrie hyperbolique, ainsi qu'à des tentatives pour mieux comprendre les variétés de dimension 4 qui portent une connexion définie. Il y a un flot géométrique qui essaye de déformer une connexion définie donnée vers une qui satisfait une certaine EDP. La compréhension de la formation de singularités dans ce flot est un étape importante pour comprendre quelle sont les variétés qui portent une connexion définie. [An SO(3)-connection on a 4-manifold is called definite if its curvature is non-zero on every tangent 2-plane. Given such a connection the corresponding 2-sphere bundle carries a natural symplectic structure. Definite connections carry a sign, + corresponds to Fano manifolds, - to Calabi-Yaus. The study of definite connections involves both the construction of examples, most notably via hyperbolic geometry, as well as attempts to understand which 4-manifolds admit definite connections. There is a geometric flow which attempts to deform a given definite connection into one which solves a certain PDE. Understanding singularity formation in this flow is an important step forward in understanding which 4-manifolds support definite connections. ]

La géométrie complexe des fibrés plat sur les variétés hyperboliques de dimensions 3 [Complex geometry of flat bundles over hyperbolic 3-manifolds ]
Le fibré des repères X sur une 3-variété hyperbolique M est, de manière naturelle, une variété complexe avec fibré canonique trivial. Celà nous permet de donner une description holomorphe des fibrés vectoriels plats sur M. Dans un premier lieu, on peut voir qu'un SL(2,C)-fibré plat au-dessus de M définit une structure complexe alternative sur X. Ou bien on peut fixer la structure complexe et le pullback de M d'un fibré vectoriel plat est, de manière naturelle, un fibré vectoriel holomorphe sur X. Cette procédure donne un plongement de la théorie de Chern-Simons de M dans la théorie de Chern-Simons holomorphe de X. On peut espérer que les techniques de l'une résolvent des problèmes de l'autre. Par exemple, étant donné un fibré plat au-dessus de M muni d'une métrique hermitienne, la métrique tirée-en-arrière sur le fibré holomorphe est hermitienne-Einstein si et seulement si la métrique originale est harmonique. De là nous voulons voir si la théorie des applications harmoniques peut nous éclairer sur la comprehension du comportement des connexions hermitiennes-Einstein sur X. [The frame bundle X of a hyperbolic 3-manifold M is naturally a complex manifold with trivial canonical bundle. From this it is possible to give a holomorphic interpretation of flat vector bundles over M. In one direction, one can interpret a flat SL(2,C)-bundles over M a defining an alternative complex structure on X. Alternatively, one can fix the holomorphic structure on X, then the pull-back of flat complex vector bundles on M are naturally holomorphic vector bundles on X. This procedure embeds the Chern-Simons theory of M in the holomorphic Chern-Simons theory of X and one may hope to use techniques from one side to solve problems in the other. For example, given a flat bundle over M with a Hermitian metric, the pull-back metric in the holomorphic bundle is Hermitian-Einstein if and only if the original metric is harmonic. From here we intend to investigate if the theory of harmonic maps can shed light on the behaviour of Hermitian-Einstein connections over X. ]

Classes d'espaces symplectiques homogènes et d'espaces symétriques symplectiques [Classes of homogeneous symplectic manifolds and of symplectic symmetric spaces]
Etude d'actions conformes pour les espaces symplectiques homogènes et les espaces symétriques symplectiques. [Study of conformal actions for homogeneous symplectic manifolds and symplectic symmetric spaces.]

Quantification par déformations de variétés symplectiques et de Poisson [Deformation quantization of symplectic and Poisson manifolds]
Classification, action de groupes, homomorphismes, involutions, représentations. [Classification, group actions, homomorphisms,involutions, representations.]

Applications harmoniques entre variétés riemanniennes. [Harmonic maps between Riemannian manifolds]
Etude des applications harmoniques et d'autres équations aux dérivées partielles pour des applications entre variétés riemanniennes dans les directions suivantes : - existence et non-existence - structure des espaces de solutions [Study of harmonic maps and solutions to other systems of partial differential equations for maps between Riemannian manifolds in the following directions : - existence and non existence - structure of the spaces of solutions]

Conjectures homologiques en algèbre locale, intersections, intersections résiduelles, liaison et modules canoniques [Homological conjectures in local algebra, intersections, residual intersections, linkage and canonical modules.]
Les conjectures en algèbre locale concernent les dimensions et multiplicités d'intersection, les systèmes de paramètres ou le module canonique pour la conjecture monomiale ou conjecture d'intersection forte. Liaison et modules canoniques sont liés. Leurs études et celle de leurs applications est d'un intérêt certain. [The conjectures in local algebra concern the intersection dimensions and multiplicities, the parameter systems or the canonical module for the monomial conjecture or improved new intersection conjecture. Linkage and canonical modules are linked. It is interesting to look at them in some generality and to look at their applications]