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Géométrie différentielle et algèbre [Differential Geometry and Algebra]
Faculté des Sciences / faculty of Sciences - Mathématiques (unité ULB175)

Les recherches de cette unité sont consacrées à divers aspects de la géométrie différentielle et de l'algèbre : quantification de variétés symplectiques et de Poisson, applications harmoniques entre variétés riemanniennes, méthodes homologiques en algèbre commutative, géométrie des connexions symplectiques, topologie symplectique et de contact, géométrie de Kähler. [The research activities of this unit are devoted to various aspects of differential geometry and of algebra : quantization of symplectic and Poisson manifolds, harmonic maps between riemannian manifolds, homological methods in commutative algebra, geometry of symplectic connections, symplectic and contact topology, Kähler geometry. ]



coordonnées / contact details


Géométrie différentielle et algèbre [Differential Geometry and Algebra]
tel +32-2-650.58.38 / 58.40, fax +32-2-650.58.67, sgutt@ulb.ac.be, fbourgeo@ulb.ac.be
Campus de la Plaine, 2.O.7
CP218, boulevard du Triomphe, 1050 Bruxelles



responsable / head


Prof. Simone GUTT


composition / members


Mélanie BERTELSON Michel CAHEN Niek DE KLEIJN Julie DISTEXHE Kael DIXON Joel FINE Roman GOLKOVO Thibaut GROUY Luc LEMAIRE Bruno PREMOSELLI Anne-Marie SIMON Misha VERBITSKY Patrick WEBER Chengjian YAO


projets / projects


Géométrie complexe, symplectique et de contact, quantification et intéractions (ARC) [Complex, symplectic and contact geometry, quantisation and interactions (ARC)]
Ce projet de recherche implique trois sujets inter-connectés : la quantification, la géométrie symplectique et la géométrie de Kähler. Cette recherche suivra deux directions principales : l'utilisation d'idées de la géométrie de l'application moment et l'utilisation de flots géométriques [This research project involves three inter-linked subjects: quantisation, symplectic geometry and Kähler geometry. The research will follow two main directions: the use of ideas from moment-map geometry and the use of geometric flows.]

Géométrie kählerienne [Kahler Geometry]
Une métrique kählerienne extrémale, quand elle existe, est un représentant canonique pour sa classe de Kähler. L'existence d'une telle métrique a été conjecturée équivalente à la stabilité de la variété polarisée qui la porte. Via la quantification, il y a un lien fort entre les métriques extrémales et les plongements projectifs qui sont équilibrés. En plus de ces aspects, on s'intéresse aussi à la production de métriques extrémales par l'analyse géométrique. Un outil pour cette approche est le flot de Calabi, qui essaye de déformer une métrique donnée vers une métrique extrémale. La quantification de ce flot est le flot d'équilibrage, un certain flot sur l'espace des plongements projectifs. On cherche à mieux comprendre le flot de Calabi via le flot d'équilibrage. [Extremal Kähler metrics, when they exist, are ''canonical'' representatives of their Kähler class. Their existence is conjecturaly equiavlent to the stability of the underlying polarised variety. Via quanitsation, there is a strong connection between extremal metrics and balanced projective embeddings. In addition to these aspects we also consider the production of extremal metrics via geometric analysis. One tool for this is the Calabi flow which attempts to deform a given Kähler metric to an extremal one. The quantization of this flow is balancing flow, a certain flow on the space of projective embeddings. We are intereseted in better understanding Calabi flow via the projective geometry of balancing flow. ]

Connexions définies [Definite connections]
Une SO(3)-connexion sur une variété de dimension 4 est dite définie si sa courbure est non-nulle sur tout 2-plan tangent. Etant donnée une telle connexion, le fibré en 2-sphère correspondant est muni d'une structure symplectique. Une connexion définie a un signe : positif pour une variété de Fano et négatif pour une variété de Calabi-Yau. L'étude des connexions définies mène à la construction d'exemples, notamment en utilisant la géométrie hyperbolique, ainsi qu'à des tentatives pour mieux comprendre les variétés de dimension 4 qui portent une connexion définie. Il y a un flot géométrique qui essaye de déformer une connexion définie donnée vers une qui satisfait une certaine EDP. La compréhension de la formation de singularités dans ce flot est un étape importante pour comprendre quelle sont les variétés qui portent une connexion définie. [An SO(3)-connection on a 4-manifold is called definite if its curvature is non-zero on every tangent 2-plane. Given such a connection the corresponding 2-sphere bundle carries a natural symplectic structure. Definite connections carry a sign, + corresponds to Fano manifolds, - to Calabi-Yaus. The study of definite connections involves both the construction of examples, most notably via hyperbolic geometry, as well as attempts to understand which 4-manifolds admit definite connections. There is a geometric flow which attempts to deform a given definite connection into one which solves a certain PDE. Understanding singularity formation in this flow is an important step forward in understanding which 4-manifolds support definite connections. ]

La géométrie complexe des fibrés plat sur les variétés hyperboliques de dimensions 3 [Complex geometry of flat bundles over hyperbolic 3-manifolds]
Le fibré des repères X sur une 3-variété hyperbolique M est, de manière naturelle, une variété complexe avec fibré canonique trivial. Celà nous permet de donner une description holomorphe des fibrés vectoriels plats sur M. Dans un premier lieu, on peut voir qu'un SL(2,C)-fibré plat au-dessus de M définit une structure complexe alternative sur X. Ou bien on peut fixer la structure complexe et le pullback de M d'un fibré vectoriel plat est, de manière naturelle, un fibré vectoriel holomorphe sur X. Cette procédure donne un plongement de la théorie de Chern-Simons de M dans la théorie de Chern-Simons holomorphe de X. On peut espérer que les techniques de l'une résolvent des problèmes de l'autre. Par exemple, étant donné un fibré plat au-dessus de M muni d'une métrique hermitienne, la métrique tirée-en-arrière sur le fibré holomorphe est hermitienne-Einstein si et seulement si la métrique originale est harmonique. De là nous voulons voir si la théorie des applications harmoniques peut nous éclairer sur la comprehension du comportement des connexions hermitiennes-Einstein sur X. [The frame bundle X of a hyperbolic 3-manifold M is naturally a complex manifold with trivial canonical bundle. From this it is possible to give a holomorphic interpretation of flat vector bundles over M. In one direction, one can interpret a flat SL(2,C)-bundles over M a defining an alternative complex structure on X. Alternatively, one can fix the holomorphic structure on X, then the pull-back of flat complex vector bundles on M are naturally holomorphic vector bundles on X. This procedure embeds the Chern-Simons theory of M in the holomorphic Chern-Simons theory of X and one may hope to use techniques from one side to solve problems in the other. For example, given a flat bundle over M with a Hermitian metric, the pull-back metric in the holomorphic bundle is Hermitian-Einstein if and only if the original metric is harmonic. From here we intend to investigate if the theory of harmonic maps can shed light on the behaviour of Hermitian-Einstein connections over X.]

Variétés symplectiques topologiques [Topological symplectic manifolds]
Etude et comparaison des différentes définitions de variété topologique symplectique. Tentatives de construction d'exemples. [Study and comparison of different definitions of topological symplectic manifolds. Tentative constructions of examples.]

Connexions symplectiques et géométrie symplectique [Symplectic connections and symplectic geometry]
Etude des connexions symplectiques ayant certaines propriétés de courbure ou solutions d'un principe variationnel. Liens avec la réduction symplectique et avec les géométries paraboliques. Etude d'opérateurs de Dirac Symplectiques. [Study of symplectic connections having certain curvature properties or solutions of a variational principle. Links with symplectic reduction and with parabolic geometries. Study of symplectic Dirac operators.]

Quantification par déformations de variétés symplectiques et de Poisson [Deformation quantization of symplectic and Poisson manifolds]
Classification, action de groupes, homomorphismes, involutions, représentations. [Classification, group actions, homomorphisms,involutions, representations.]

Classes d'espaces symplectiques homogènes et d'espaces symétriques symplectiques [Classes of homogeneous symplectic manifolds and of symplectic symmetric spaces]
Etude d'actions conformes pour les espaces symplectiques homogènes et les espaces symétriques symplectiques. [Study of conformal actions for homogeneous symplectic manifolds and symplectic symmetric spaces.]

Théorie de Morse multi-dimensionnelle [Multi-dimensional Morse theory]
L'objet d'étude est une application entre variétés différentiables. On considère la complexité topologique à la fois de l'image et des ensembles de niveau d'une telle application, telle qu'elle peut être mesurée par des invariants topologiques comme le rang de l'homologie ou de la cohomologie, le nombre minimal de points critiques d'une fonction de Morse propre, ... etc. [The central object is a map between manifolds. We consider the topological complexity both of the image and of the level sets of such maps as it can be measured by topological invariants such as the rank of the (co)homology, the minimal number of cells in a cell decomposition, the minimal number of generators of the fundamental group or the minimal number of critical points of a Morse function.]

Applications harmoniques entre variétés riemanniennes. [Harmonic maps between Riemannian manifolds]
Etude des applications harmoniques et d'autres équations aux dérivées partielles pour des applications entre variétés riemanniennes dans les directions suivantes : - existence et non-existence - structure des espaces de solutions [Study of harmonic maps and solutions to other systems of partial differential equations for maps between Riemannian manifolds in the following directions : - existence and non existence - structure of the spaces of solutions]



publications





theses


Meyer, Julien : Quantisation of the Laplacian and a Curved Version of GeometricQuantisation, Dir. Joel Fine, 2016

Zénaïdi, Naïm : Théomèmes de Künneth en homologie de contact, Dir. Frédéric Bourgeois, 2014

La Fuente-Gravy, Laurent : Automorphismes Hamiltoniens d'un produit star et opérateurs de Dirac symplectiques, Dir. Simone Gutt, 2014

Gutt, Jean : On the minimal number of periodic Reeb orbits on contact manifolds, Dir. Frédéric Bourgeois et Alexandru Oancea, 2014

Pook, Julian : Kähler and Almost-Kähler Geometric Flows, Dir. Joel Fine, 2014

Heistercamp, Muriel : The Weinstein conjecture with multiplicities on spherizations, Dir. Félix Schlenk (Univ.Neuchâtel) et Frédéric Bourgois (ULB), 2011

Ngô, Fabien : ''Structures quantiques de certaines sous-variétés lagrangiennes non-monotones'', Dir. Frédéric Bourgeois (ULB) et Octav Cornea (Université de Montréal, Canada), 2010

Richard, Nicolas : ''Extrinsic symmetric symplectic spaces'', Dir. Simone Gutt, 2010

Malik, Amin : ''Some Non Commutative Topics Related to Symmetric Spaces'', Dir. Simone Gutt, 2010

Stiénon, Mathieu : ''A propos d'une structure complexe sur un espace de twisteurs pour certaines variétés symplectiques'', Dir. Luc Lemaire, 2004

Horowitz, Joel : ''Connexions symplectiques à courbure de type Ricci'', Dir. Michel Cahen et Simone Gutt, 2001

Sleewaegen, Pierre : ''Application moment et théorème de convexité de Kostant'', Dir. Michel Cahen, 1999

Sbai, Mohammed : ''Linéarisation de structures de Poisson'', Dir. Michel Cahen, 1997

De Smedt, Vivian : Existence d'un produit star de Hopf pour tout groupe de Lie non abélien, Dir. Simone Gutt, 1996

Bieliavsky, Pierre : ''Espaces symétriques symplectiques''. Dir. Simone Gutt, 1995

Ohn, Christian : ''Une déformation polynomiale des algèbres enveloppantes semi-simples''. Dir. Michel Cahen, 1993

Chaibi, Mohamed : ''Spectre de l'opérateur de Dirac sur les espaces lenticulaires''. Dir. Michel Cahen, 1993

Vanderwinden, Anne-Joelle : ''Exemples d'applications harmoniques'', Dir. Luc Lemaire, 1992

Eslami Rad, Anahita : Effect of Legendrian surgery and an exact sequence for Legendran links, Dir. Frédéric Bourgeois, 1912



collaborations


Prof. John Rawnsley, University of Warwick, Coventry, Grande-Bretagne

Prof. Didier Arnal, Daniel Sternheimer, Université de Bourgogne, Dijon, France

Prof. Joseph Wolf, Alan Weinstein, University of California at Berkeley, Berkeley, Etats-Unis (USA)

Prof. John Wood, University of Leeds, Leeds, Grande-Bretagne

Prof. Yakov Eliashberg, Stanford University, Stanford, Etats-Unis (USA)

Prof. Lorenz Schwachhöfer, Universität Dortmund, Dortmund, ALLEMAGNE (REP.FED.)

Prof. Pierre Bieliavsky, Université catholique de Louvain, Louvain-la-Neuve, Belgique

Prof. Stefan Waldmann, Universität Freiburg, Freiburg, ALLEMAGNE (REP.FED.)

Prof. Yuri Chekanov, Center for continuous mathematical education, Moscow, RUSSIE (FED. DE)

Prof. Misha Gromov, Institut des Hautes Études Scientifiques, Bures-sur-Yvette, France

Prof Martin Bordemann, Université de Haute Alsace, Mulhouse, France

Prof. Alexandru Oancea, Université de Strasbourg, Strasbourg, France

Prof. Simon Donaldson, Dr Dmitri Panov, Imperial College, Department of Mathematics, London, Grande-Bretagne

Prof. Michael Singer, University of Edinburgh, School of Mathematics, Edinburgh, Grande-Bretagne

Prof. Tobias Ekholm, Uppsala University, Department of Mathematics, Uppsala, Suède



prix / awards


Membre de l'Académie Royale de Belgique - Michel CAHEN Simone GUTT

Editeur de Letters in Mathematical Physics et de Journal of Geometry and Physics - Michel CAHEN

Lauréate du concours annuel de la classe des sciences de l'Académie Royale (1980) - Simone GUTT

Prix Empain (1979) - Luc LEMAIRE

Prix quadriennal François Deruyts de la Classe des Sciences de l'Académie Royale (1994) - Luc LEMAIRE

Editeur de Geometric and Functional Analysis - Luc LEMAIRE

Vice président de la Société Mathématique Européenne (1999-2006) - Luc LEMAIRE

Prix quadriennal François Deruyts de la Classe des Sciences de l'Académie Royale (1998) - Simone GUTT

Président du groupe de contact FNRS en Géométrie Différentielle - Frédéric BOURGEOIS

Prix Théophile De Donder (1964) - Michel CAHEN

Prix François Deruyts (1978), Académie Royale de Belgique - Michel CAHEN

Prix Godeaux (2006), Société Royale des Sciences de Liège - Frédéric BOURGEOIS

Prix François Deruyts (2006), Académie Royale de Belgique - Frédéric BOURGEOIS

Starting Grant du Conseil de la Recherche Européen (ERC), 2009-2014. - Frédéric BOURGEOIS

Prix international Wernaers pour la recherche et la diffusion des connaissances (2009). - Luc LEMAIRE

Coordinateur du réseau de recherche ''Contact And Symplectic Topology'' (2010-2015), European Science Foundation. - Frédéric BOURGEOIS

Prix Fondation ULB 2010 - Frédéric BOURGEOIS

Consolidator Grant du Conseil de la Recherche Européen (ERC) - Joel FINE



mots clés pour non-spécialistes / keywords for non-specialists


analyse géométrique géométrie de kähler géométrie symplectique quantification par déformations topologie symplectique et de contact


disciplines et mots clés / disciplines and keywords


Calcul des variations Equations différentielles et aux dérivées partielles Géométrie non commutative Géométrie riemannienne, intégrale, symplectique et de poisson Géométries différentielle et infinitésimale Physique théorique et mathématique Topologie algébrique, topologie différentielle Topologie générale, groupes topologiques, groupes de lie

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