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Géométrie, Combinatoire et Théorie des Groupes [Discrete Mathematics]
Faculté des Sciences / faculty of Sciences - Mathématiques (unité ULB171)

Constitué dans l'année 1985, au sein du département Mathématiques de la Faculté Faculté des sciences, l'unité Géométrie, Combinatoire et Théorie des Groupes est l'un des centres de recherche de la faculté qui a pour mission de mener des recherches sur les axes suivants : Atlas de graphes symétriques de degré inférieur à 30, Le théorème d'Alexandrov de l'espace-temps simplifié et généralisé en termes de géométrie affine d'incidence en dimension quelconque sur tout corps de base, Caractérisation en termes de points et de droites de grassmaniennes d'immeubles et de géométries à diagramme, Elaboration et développement d'une bibliothèque de programmes MAGMA destinés à l'étude des géométries d'incidence chambre-transitives, Atlas de géométries d'incidence résiduellement faiblement primitives de petis groupes, Atlas de géométries d'incidence primitives de petits groupes presque simples, Etude et classification des géométries d'incidence résiduellement primitives des groupes de Suzuki, Etude des groupes primitifs de degré peu élevé, Réduction arithmétique et groupale des amalgames de rang 3 d'espaces linéaires épais homogènes en leurs drapeaux, Classification de géométries chambres-transitives de type c.L*, Théorie des géométries d'incidence de type L.Af* vérifiant un axiome d'intersection, Questions concernant les immeubles et leurs extensions, Structures et algorithmes pour l'évaluation des connaissances, Description du polytope du vote approbatoire, Portes d'ensembles convexes, Le permutoèdre et les permutographes, Designs et loteries. Classification de structures ultrahomogènes, Intégration des géométries d'incidence dans le noyau du langage symbolique Magma, Géométrie de polytopes d'ordres, Classification de designs primitifs, Homogénéité et ultrahomogénéité de designs, Designs bloc-transitifs et point-imprimitifs, Classification de structures homogènes et ultrahomogènes, Théorie des noeuds et ses applications en chimie et biologie moléculaire, Caractérisation des nombres d'orbites sur les i-faces de d-polytopes.



coordonnées / contact details


Géométrie, Combinatoire et Théorie des Groupes [Discrete Mathematics]
tel +32-2-650.58.71 / 58.72 / 58.63, fax +32-2-650.58.67, fbueken@ulb.ac.be
Campus de la Plaine, BATIMENT NO, niveau 8, aile O
CP216, boulevard du Triomphe, 1050 Bruxelles



responsables / head


Prof. Jean DOYEN Prof. Jean-Paul DOIGNON


composition / members


Philippe CARA Corinne CERF Michel DEHON Alice DEVILLERS Edmond DONY Samuel FIORINI Xavier HUBAUT Cécile HUYBRECHTS Dimitri LEEMANS Charles LEYTEM Martha SALAZAR-NEUMANN Gavin SEAL Michel SEBILLE


projets / projects


Atlas de graphes symétriques de degré inférieur à 30 [Atlas of symmetric graphs of degree up to 30]
Inventaire des graphes symétriques connus (degré < ou = 26) et classification pour des degrés plus élevés allant jusqu'à 50 (graphes primitifs). Détermination de divers paramètres, représentations et cartes. [Listing of the known symmetric graphs (degree < or = 26) and classification for higher degrees up to 50 (primitive graphs). Tabulation of various parameters, representations and maps]

Le théorème d'Alexandrov de l'espace-temps simplifié et généralisé en termes de géométrie affine d'incidence en dimension quelconque sur tout corps de base [The Alexandrov theorem of space-time simplified and generalized in terms of affine incidence geometry of any dimension over any field]
La structure d'espace de Minkowski de la relativité restreinte est interprétée et généralisée à l'aide d'un espace affin A dont l'espace projectif à l'infini est muni d'un ensemble de points distingués B. Cette structure est étudiée à divers niveaux d'abstraction et caractérisable pour une large gamme de couples (A,B) comprenant ceux où B est une quadrique. [The structure of the Minkowski space of special relativity is interpreted and generalized with the help of an affine space A whose projective space at infinity is provided with a set B of distinguished points. This structure is studied at various levels of abstraction. It can be characterized for a broad range of pairs (A,B) including those where B is a quadric]

Caractérisation en termes de points et de droites de grassmaniennes d'immeubles et de géométries à diagramme [Characterization in terms of points and lines of grassmannians of buildings and of diagram geometries]
Tout diagramme de Coxeter (resp. diagramme quelconque) et un de ses noeuds définissent une classe d'espaces à points et droites provenant des immeubles (resp. géométries) correspondants. Le but est d'étudier les espaces de points et de droites obtenus, à divers niveaux de généralité et de reconstruire les immeubles (resp. géométries) sous-jacents. [Any Coxeter diagram (resp. any diagram) and one of its nodes define a class of point-line spaces derived from the corresponding buildings (resp. geometries). The purpose is to study those point-line spaces at different levels of generality and to reconstruct the underlying buildings (resp. geometries).]

Elaboration et développement d'une bibliothèque de programmes MAGMA destinés à l'étude des géométries d'incidence chambre-transitives [Elaboration and development of a library of MAGMA programmes whose purpose is the study of flag-transitive incidence geometries]
D'abord développé dans CAYLEY, le projet vise d'une part à traduire nos programmes existants dans MAGMA et d'autre part, à construire des approches nouvelles compte tenu de progrès théoriques accomplis par ailleurs. L'idée de base est de systématiser l'étude du treillis des sous-groupes d'un groupe de divers points de vue. [First developed in CAYLEY, the project aims on the one hand to translate our existing programmes in MAGMA and on the other hand, to build new approaches taking theoretical progressions into acount. The basic idea is to systematize the study of the subgroup lattice of a group from various viewpoints]

Atlas de géométries d'incidence résiduellement faiblement primitives de petis groupes [Atlas of residually weakly primitive incidence geometries of small groups]
Collecte de données basée sur des programmes MAGMA et sur une approche interactive concernant les groupes alternés et symétriques de degré d < ou = 7, les groupes PSL(2,q) avec q < ou = 9, divers groupes de type affin, PSL(3,4), etc. Les données comprennent des listes exhaustives de géométries avec leur diagramme, la structure des sous-groupes paraboliques, des cartes de graphes associés et diverses propriétés. [Collection of data based on MAGMA programmes and on an interactive approach concerning the alternating and symmetric groups of degree d < or = 7, the groups PSL(2,q) with q < or = 9, various groups of affine type, PSL(3,4), etc. The data include exhaustive lists of geometries with their diagrams, the structure of parabolic subgroups, maps of associated graphs and various properties]

Atlas de géométries d'incidence primitives de petits groupes presque simples [Atlas of primitive incidence geometries for small almost simple groups]
Collecte de données basée sur des programmes MAGMA et sur une approche interactive concernant les groupes presque simples de type PSU(4,2), M11 et PSL (2,q) pour q < ou = 19. Les données comprennent des listes exhaustives de géométries fermes, résiduellement connexes, chambre-transitives et primitives avec leur diagramme, la structure des sous-groupes paraboliques et diverses propriétés. [Collection of data based on MAGMA programmes and on an interactive approach concerning the almost simple groups of type PSU(4,2) , M11 and PSL(2,q) for q < or = 19. The data include exhaustive lists of firm, residually connected, chamber-transitive and primitive geometries with their diagrams, the structure of parabolic subgroups and various properties]

Etude et classification des géométries d'incidence résiduellement primitives des groupes de Suzuki [Study and classification of the residually primitive incidence geometries of the Suzuki groups]
La classification connue des sous-groupes maximaux des groupes presque-simples du type de Suzuki et leur interprétation géométrique en termes d'ovoïdes de Tits-Suzuki permet d'aborder une classification de leurs intersections et des géométries d'incidence. [The known classiciations of the maximal subgroups of the almost simple groups of Suzuki type and their geometric interpretation in terms of Tits-Suzuki ovoids allows to start a classification of their intersections and of the related incidence geometries]

Etude des groupes primitifs de degré peu élevé [Study of the primitive groups of small degree]
Détermination de la structure des groupes primitifs de degré < ou = 50 et de leurs relations d'inclusion. [Determination of the structure of the primitive groups of degree < or = 50 and of their relations of inclusion]

Réduction arithmétique et groupale des amalgames de rang 3 d'espaces linéaires épais homogènes en leurs drapeaux [Arithmetic and grouptheoretical reduction of rank 3 amalgams of thick linear spaces that are flag-homogeneous]
La structure polynomiale des ordres d'espaces linéaires épais homogènes en leurs drapeaux impose des contraintes considérables aux ordres des amalgames de rang 3 de telles géométries dont dérive une liste réduite de diagrammes. Sous l'hypothèse supplémentaire où l'amalgame est muni d'un groupe d'automorphismes chambre-transitif l'analyse des sous-groupes paraboliques de rang un conduit à de nouvelles réductions. [The polynomial structure of orders of thick flag-homogeneous linear spaces puts strong constraints on the orders of rank 3 amalgams of such geometries from which a reduced list of diagrams is derived. Under the additional hypothesis where the amalgam is endowed with a chamber-transitive automorphism group the analysis of rank one parabolic subgroups leads to further reductions]

Classification de géométries chambres-transitives de type c.L* [Classification of chamber-transitive geometries of type c.L*]
Les géométries de type c.L* à résidus de points épais admettant un groupe d'automorphismes transitif sur les chambres donnent lieu à des exemples comprenant notamment les groupes sporadiques M22 et J2. Il semble possible d'approcher une classification complète de ces géométries et de leurs groupes. [The incidence geometries c.L* with thick point residues admitting a chamber-transitive automorphism group give rise to examples including among others the sporadic groups M22 and J2. It seems possible to approach a full classification of these geometries and of their groups]

Théorie des géométries d'incidence de type L.Af* vérifiant un axiome d'intersection [Theory of the incidence geometries of type L.Af* satisfying an intersection axiom]
Généralisant des résultats sur les géométries de diagramme C.Af* et Af.Af*, il est possible de montrer que sous certaines hypothèses, toute géométrie sur L.Af* est plongeable dans une géométrie sur L.A2 et d'en poursuivre l'étude sur cette base. [Generalizing results on the geometries with diagrams C.Af* and Af.Af*, it is possible to show that under certain hypothesis, every geometry on L.Af* is embeddable in a geometry on L.A2 and to pursue its study on this basis]

Questions concernant les immeubles et leurs extensions [Questions concerning buildings and their extensions]

Structures et algorithmes pour l'évaluation des connaissances [Structures and algorithms for the assesment of knowledge]
Les espaces de connaissance introduits en 1985 par Doignon et Falmagne modélisent les divers états de connaissance d'une population d'étudiants dans un domaine spécifique. Des algorithmes sont mis au point pour déterminer automatiquement et efficacement l'état d'un étudiant particulier. [Knowledge spaces introduced in 1985 by Doignon and Falmagne capture all possible knowledge states in a population of students, as regards a specific body of information. Algorithms are designed for the automatic, efficient recognition of a particular student state]

Description du polytope du vote approbatoire [Description of the approval-voting polytope]
La réalisation d'un test pour un modèle probabiliste du vote approbatoire est traduit en la recherche d'une description linéaire d'un certain polytope convexe. Plusieurs familles d'inégalités définissant des faces maximales ont déjà été obtenues. [The design of a test for a probabilistic model of approval-voting data is recast as the search for a linear description of a specific convex polytope. Several families of facet-defining inequalities have already been determined]

Portes d'ensembles convexes [Gates of convex sets]
La notion de porte de sous-ensemble d'un espace métrique joue un rôle à la fois dans les théories de la localisation (recherche opérationnelle) et des immeubles (géométrie). Elle est étudiée dans le cadre des espaces vectoriels normés. [The notion of a gate for a subset in a metric space plays a role in localization theory (belonging to operations research) and in the theory of buildings (belonging to geometry). It is investigated in normed vector spaces]

Le permutoèdre et les permutographes [The permutohedron as a permutograph]
Le permutoèdre, utilisé en géométrie et dans l'étude des rangements, est présenté comme cas particulier d'une famille de graphes appelés permutographes. Ces derniers sont étudiés du point de vue de leurs automorphismes et de leur polyédricité. [The permotuhedron is a graph used both in geometry and in the study of rankings. It is shown to belong to a whole family of graphs, called the permutographs. The automorphisms and the polytopal character of these graphs are investigated.]

Designs et loteries. Classification de structures ultrahomogènes [Designs and lotteries. Classification of ultrahomogeneous structures]
Etude des "Lotto numbers" L(n,k,k',t)= plus petit nombre de k-parties de N={1,2,...,n} telles que toute k'-partie de N a au moins t éléments communs avec l'une d'elles. Classification de structures ultrahomogènes (espaces linéaires partiels, designs,...) : structures S telles que lorsque les sous-structures induites sur deux sous-ensembles sont isomorphes, un de ces isomorphismes s'étend en un automorphisme de S. [We study the Lotto numbers L(n,k,k',t), smallest number of k-subsets of N={1,2,...,n} such that any k'-subsets of N meets one of them in at least t elements. We classify various ultrahomogeneous structures (partial linear spaces, designs,...), i.e. structures S such that whenever the substructures induced on two subsets are isomorphic, some isomorphism extends to an automorphism of S.]

Intégration des géométries d'incidence dans le noyau du langage symbolique Magma [Integrating incidence geometries in the kernel of the symbolic language Magma]
En collaboration avec le Professeur John Cannon de l'Université de Sydney, nous développons un ensemble de procédures dans le noyau du langage Magma afin de permettre l'étude des géométries d'incidence et des paires (groupe, géométrie) à l'aide de Magma. [In collaboration with Professor John Cannon from the University of Sydney, we develop a set of procedures within the kernel of the language Magma. The aim is to extend Magma into a tool for the study of incidence geometries and of (group, geometry) pairs.]

Géométrie de polytopes d'ordres [Geometry of order polytopes]
A chaque famille de relations sur un ensemble fini est associé le polytope qui est l'enveloppe convexe des vecteurs caractéristiques de ces relations. La géométrie des polytopes convexes ainsi obtenus est étudiée, notamment en vue de déterminer des facettes. Les cas les plus importants sont ceux des ordres totaux, des préordres totaux, des ordres partiels; ils apparaissent également en optimisation combinatoire. [To each family of relations on a finite set, one associates a polytope which is the convex hull of all the characteristic vectors of those relations. The geometry of the resulting convex polytopes is investigated, with the particular aim of producing facets. The proeminent cases are those of linear orders, weak orders, partial orders; the associated polytopes also appear in combinatorial optimization.]

Classification de designs primitifs [Classification of primitive designs]
Classification de tous les t-designs sur moins de 16 points ayant un groupe d'automorphismes primitif. Détermination du groupe complet des automorphismes de tels designs, en utilisant le logiciel DISCRETA. [Classification of all t-designs on less than 16 points having a primitive automorphism group. Determination, using the software DISCRETA, of the full group of automorphisms of such designs.]

Homogénéité et ultrahomogénéité de designs [Homogeneity and ultrahomogeneity of designs]
Classification des t-designs ayant un groupe d'automorphismes isomorphe à M11, M12, M22, M22:2, M23 ou M24 (dans leurs représentations 3-, 4- ou 5-transitive) et tels que deux sous-structures isomorphes sont toujours dans une même orbite. [Classification of all t-designs having an automorphism group isomorphic to M11, M12, M22, M22:2, M23 or M24 (in t 3-, 4- or 5-transitive representations) and such that any two isomorphic substructures are always in the same orbit.]

Designs bloc-transitifs et point-imprimitifs [Block-transitive and point-imprimitive designs]
Etude des paramètres arithmétiques des t-designs ayant un groupe d'automorphismes transitif sur les blocs et imprimitif sur les points. [Study of the arithmetical parameters of t-designs having an automorphism group which is transitive on blocks and imprimitive on points.]

Classification de structures homogènes et ultrahomogènes [Classification of homogeneous and ultrahomogeneous structures]
Une structure S est dite homogène (resp.ultrahomogène) si, lorsque deux sous-structures finies de S sont isomorphes, un de ces (resp.tous ces) isomorphismes s'étend(ent) en automorphisme de S. Classification des espaces linéaires, semilinéaires, systèmes de Steiner... homogènes et ultrahomogènes. [A structure S is said to be homogeneous (resp.ultrahomogeneous) if when two finite substructures of S are isomorphic, then one of (resp.all of) these isomorphisms can be extended into an automorphism of S. Classification of homogeneous and ultrahomogeneous linear and semilinear spaces, Steiner systems...]

Théorie des noeuds et ses applications en chimie et biologie moléculaire [Knot theory and its applications in chemistry and molecular biology]
Détection de la chiralité topologique des noeuds et entrelacs. Application à la chiralité chimique des molécules nouées et entrelacées. Application de la theorie des noeuds et des graphes à la topologie des polymères et des biopolymères (ADN, protéines). [Detection of topological chirality of knots and links. Application to the chemical chirality of knotted and linked molecules. Application of knot theory and graph theory to the topology of polymers and biopolymers (DNA, proteins).]

Caractérisation des nombres d'orbites sur les i-faces de d-polytopes [Characterization of the orbit numbers on the i-faces of d-polytopes]
Un d-polytope P est un polytope convexe de l'espace euclidien de dimension d. Le groupe des automorphismes de P a un certain nombre d'orbites sur les points, sur les arêtes,..., sur les i-faces (faces de dimension i),..., et sur les (d-1)-faces de P. Ces nombres forment un d-vecteur. Etude de l'ensemble de tels d-vecteurs possibles, en particulier pour d=3. [A d-polytope P is a convex polytope of the Euclidean space of dimension d. The full automorphism group of P has a certain number of orbits on the points, the edges,..., the i-faces (faces of dimension i),..., and on the (d-1)-faces of P. These numbers determine a d-vector. Characterization of the set of the possible d-vectors, in particular for d=3.]



publications


F. Buekenhout and D. Leemans. / On a geometry of Ivanov and Shpectorov for the O'Nap sporadic simple group. / J. Combin. Theory Ser. A. 85 (1999).

Ph. Cara. / An infinite family of Petersen geometries with nonlinear diagram. / J. Geom. 67(2000) 73-88.

C. Cerf / The topological chirality of knots and links. / Chemical Topology - Applications and Techniques, Mathematical. Chemistry Vol. 6 (eds. D. Bonchev and D. H. Rouvray), Gordon and Braech, 2000, 1-34.

C. Cerf and A. Jorissen / Is amino acid homochirality due ti asymmetric photolysis in space? / Space Science Reviews 92 (2000) 603-612.URL: http//arXiv.org/abs/astro-ph/9911174. This paper has been commented by Marcus Chown in the New Scientist of November 27, 1999, p.20.

A. Devillers / d-homogeneous and d-ultrahomogeneous linear spaces. / J. Com-b designs 8 (5) (2000), 321-329.

JP. Doignon and Jutta Mitas / Dimension of valued relations. / European journal of Operational Research 125(2000), 571-587.

C. Huybrechts and A. Pasini. / Flag-transitive extensions of dual affine spaces. / Beiträge Algebra Geom. 40 (1999), 503-532.

C. Huybrechts / A unified construction for c* . c ans L . L*-geometries in projective spaces. / J. Geom. 67 (2000), 145-163.

D. Leemans / Incidence Geometry. / in W. Bosma and J. Cannon, Handbook of Magma Functions, Version 2.7 (July 2000), Vol. V, chapter 82, pp 335-359.

D. Leemans / The Residually Weakly Primitive pre-geometries of the Suzuki simple groups. / Note Mat. 20 (2000), no.1.



theses


Leemans D., ''Classification of RWPRI geometries for the Suzuki simple groups'' Dir. Prof. F.Buekenhout, Dr. M.Dehon, Dépt. de Math., ULB, Bruxelles, 1998

Lehman S. ''Caractérisation inductive des Grassmanniennes d'immeubles en termes d'espaces de droites'' Dir. Prof. F. Buekenhout, Dépt. de Math., ULB, Bruxelles, 1997

Huybrechts, C. Réductions des géométries de type L.L*. Dir. Prof. F. Buekenhout, Dépt. de Math., ULB, Bruxelles, 1996

Beeckmans L. Equations de Pell, sommes de carrés consécutifs et conjecture d'Erdös. Dir. Prof. J. Doyen, Dépt. de Math., ULB, Bruxelles, 1995

Hermand, M. Géométries, langage CAYLEY et groupe de Hall-Janko., Dir. Prof. F. Buekenhout, Dépt. de Math., ULB, Bruxelles, 1991

Delandtsheer, A., ''Classifications of finite highly transitive dimensional linear spaces''. Thèse d'Agrégation de l'Enseignement Supérieur, ULB, Bruxelles, 1991



collaborations


Prof. J. Tits, Collège de France, Paris, France

Profs. J. Thas, F. De Clerck, H. Van Maldeghem, Universiteit Gent, Vakgroep Wiskunde, Gent, Belgique

Prof. A. Pasini, Università di Siena, Siena, Italie

Prof. A.M. Cohen, H. Cuypers, Technological University Eindhoven, EIDMA, Eindhoven, Pays-Bas

Prof. A.M. Cohen, Centrum voor Wiskunde en informatica, Amsterdam, Pays-Bas

Prof. R. Kieboom, Mr. Ph. Cara, Vrije Universiteit Brussel, Brussel, Belgique

Prof. A. Beutelspacher, Universität Giessen, Giessen, ALLEMAGNE (REP.FED.)

Dr. B. Baumeister, Mr. H. Gottschalk, Universität Halle, Halle, ALLEMAGNE (REP.FED.)

prof. O.H. King, University of Newcastle, Newcastle, Grande-Bretagne

Prof. A. Delandtsheer, Dr D. Buset, M. Cl. Archer, ULB, Fac. Sciences appliquées, Mathématique, Bruxelles, Belgique

Prof. Jean-Claude Falmagne, University of California, Institute of Mathematical Behavioural Sciences, Irvine CA, Etats-Unis (USA)

Dr. Mike Regenwetter, Duke University, Fuqua School of Business, Durham, NC, Etats-Unis (USA)

Dr. Peter C. Fishburn, ATetT Labs-Research, Information Sciences Research Center, Florham Park, NJ, Etats-Unis (USA)

Prof. John Cannon, University of Sydney, Computational Algebra Group, Sydney, Australie

Prof. K. Mislow, Princeton University, Chemistry Department, Princeton, New Jersey, Etats-Unis (USA)

Dr. A. Stasiak, Université de Lausanne, Département de Biologie, Lausanne, Suisse

Dr. A. Maes, Université de Mons-Hainaut, Département de Mathématiques, Mons, Belgique



prix / awards


Membre de l'équipe éditoriale des revues suivantes : Bulletin of the Belgian Mathematical Society-Simon Stevin, Discrete Mathematics, Journal of Combinatorial Designs

Membre du Conseil d'Administration du CREM (Centre de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques). - Francis BUEKENHOUT

Membre du ICMI-Belgium (International Committee of Mathematical Instruction).

Correspondant Acad. R. Belg. Classe des Sciences - Francis BUEKENHOUT

Editeur du "Journal of Combinatorial Theory (A)" - Francis BUEKENHOUT

Membre de l'"Advisory Board" de "Contributions to Algebra and Geometry" - Francis BUEKENHOUT

Editeur de "Atti del Seminario Matematico e Fisico dell' Università di Modena" - Francis BUEKENHOUT

Editeur du "Journal européen de Combinatoire" - Francis BUEKENHOUT

Président du Jury de l'Olympiade Mathématique Belge - Francis BUEKENHOUT Jean-Paul DOIGNON

Membre du Comité d'Edition du Journal of Mathematical Psychology - Jean-Paul DOIGNON

Editeur de Mathématiques, Informatique et Sciences humaines - Jean-Paul DOIGNON

Editeur de Discrete mathematics - Jean DOYEN

Editeur de Journal of Combinatorial Designs - Jean DOYEN

Editeur du Bulletin of the Belgian mathematical Society - Simon Stevin - Jean DOYEN

Membre du comité de rédaction de Mathématiques, Informatique et Sciences Humaines



savoir-faire/équipements / know-how, equipment


Bibliothèque (Mathematical Reviews, Geo. Dedicata, périodiques et livres divers)

Collections de modèles de polyèdres et polytopes

Utilisation de logiciels (DISCRETA, GAP, MAGMA, PORTA, ...)



mots clés pour non-spécialistes / keywords for non-specialists


ensemble convexe évaluation des connaissances géométrie d'incidence graphe symétrique immeuble


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