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La géométrie complexe des fibrés plat sur les variétés hyperboliques de dimensions 3 [Complex geometry of flat bundles over hyperbolic 3-manifolds]

Le fibré des repères X sur une 3-variété hyperbolique M est, de manière naturelle, une variété complexe avec fibré canonique trivial. Celà nous permet de donner une description holomorphe des fibrés vectoriels plats sur M. Dans un premier lieu, on peut voir qu'un SL(2,C)-fibré plat au-dessus de M définit une structure complexe alternative sur X. Ou bien on peut fixer la structure complexe et le pullback de M d'un fibré vectoriel plat est, de manière naturelle, un fibré vectoriel holomorphe sur X. Cette procédure donne un plongement de la théorie de Chern-Simons de M dans la théorie de Chern-Simons holomorphe de X. On peut espérer que les techniques de l'une résolvent des problèmes de l'autre. Par exemple, étant donné un fibré plat au-dessus de M muni d'une métrique hermitienne, la métrique tirée-en-arrière sur le fibré holomorphe est hermitienne-Einstein si et seulement si la métrique originale est harmonique. De là nous voulons voir si la théorie des applications harmoniques peut nous éclairer sur la comprehension du comportement des connexions hermitiennes-Einstein sur X. [The frame bundle X of a hyperbolic 3-manifold M is naturally a complex manifold with trivial canonical bundle. From this it is possible to give a holomorphic interpretation of flat vector bundles over M. In one direction, one can interpret a flat SL(2,C)-bundles over M a defining an alternative complex structure on X. Alternatively, one can fix the holomorphic structure on X, then the pull-back of flat complex vector bundles on M are naturally holomorphic vector bundles on X. This procedure embeds the Chern-Simons theory of M in the holomorphic Chern-Simons theory of X and one may hope to use techniques from one side to solve problems in the other. For example, given a flat bundle over M with a Hermitian metric, the pull-back metric in the holomorphic bundle is Hermitian-Einstein if and only if the original metric is harmonic. From here we intend to investigate if the theory of harmonic maps can shed light on the behaviour of Hermitian-Einstein connections over X.]



responsable


Joel FINE


disciplines et mots clés déclarés


Géométrie riemannienne, intégrale, symplectique et de poisson Géométries différentielle et infinitésimale Topologie algébrique, topologie différentielle

application harmonique fibré plat géométrie hyperbolique métrique hermitienne théorie de chern-simons