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Connexions définies [Definite connections]

Une SO(3)-connexion sur une variété de dimension 4 est dite définie si sa courbure est non-nulle sur tout 2-plan tangent. Etant donnée une telle connexion, le fibré en 2-sphère correspondant est muni d'une structure symplectique. Une connexion définie a un signe : positif pour une variété de Fano et négatif pour une variété de Calabi-Yau. L'étude des connexions définies mène à la construction d'exemples, notamment en utilisant la géométrie hyperbolique, ainsi qu'à des tentatives pour mieux comprendre les variétés de dimension 4 qui portent une connexion définie. Il y a un flot géométrique qui essaye de déformer une connexion définie donnée vers une qui satisfait une certaine EDP. La compréhension de la formation de singularités dans ce flot est un étape importante pour comprendre quelle sont les variétés qui portent une connexion définie. [An SO(3)-connection on a 4-manifold is called definite if its curvature is non-zero on every tangent 2-plane. Given such a connection the corresponding 2-sphere bundle carries a natural symplectic structure. Definite connections carry a sign, + corresponds to Fano manifolds, - to Calabi-Yaus. The study of definite connections involves both the construction of examples, most notably via hyperbolic geometry, as well as attempts to understand which 4-manifolds admit definite connections. There is a geometric flow which attempts to deform a given definite connection into one which solves a certain PDE. Understanding singularity formation in this flow is an important step forward in understanding which 4-manifolds support definite connections. ]



responsable


Joel FINE


disciplines et mots clés déclarés


Géométrie riemannienne, intégrale, symplectique et de poisson Géométries différentielle et infinitésimale Topologie algébrique, topologie différentielle

analyse géométrique connexions flots géométriques géométrie hyperbolique géométrie riemannienne géométrie symplectique variétés de dimension 4