Etude algorithmique de chaînes de Markov [Algorithmic analysis of Markov chains]
Il s'agit de chaînes de Markov dont la matrice de transition possède la même structure, par blocs, que celles de files d'attente M/G/1 et GI/M/1. Les applications sont nombreuses, notamment en modélisation de systèmes informatiques. On utilise des raisonnements probabilistes pour mettre au point des algorithmes de calcul de diverses caractéristiques : distribution stationnaire, temps de passage, etc. [For the Markov chains under study, the transition matrix is block structured like that of the M/G/1 and GI/M/1 queueing systems. These Markov chains have numerous applications in computer systems modeling a.o. One uses probabilistic arguments to develop computational algorithms for various quantities of general interest such as the stationary distribution and moments of first passage times]

Processus de branchement et méthodes matricielles [Branching processes and matrix analytic methods]
Un grand nombre de questions dans des domaines comme la biologie, la démographie ou les télécommunications peuvent être modélisées à l'aide de processus de branchement à plusieurs types. Nous nous concentrons sur une classe particulière de ces processus de branchement, appelée arbres binaires markoviens (MBTs pour Markovian binary trees). Ce sont des processus stochastiques contrôlés par un processus d'arrivées markovien (MAP pour Markovian arrival process). Le principal objectif du projet est de répondre à plusieurs questions sur les MBTs par le développement de méthodes de résolution numérique, en mettant l'accent sur leur interprétation probabiliste, avec l'aide de la théorie des méthodes matricielles et des processus de branchement. Quelques exemples de questions intéressantes avec de nombreuses applications sont - la probabilité d'extinction d'un MBT, - la distribution du temps jusqu'à son extinction - le comportement du processus en présence d'immigration, de catastrophes et / ou d'environnements aléatoires, - le nombre de particules en vie à un certain moment, - la distribution de la descendance totale jusqu'à l'extinction, si celle-ci a lieu, - la modélisation à l'aide du MBT dans le domaine des télécommunications (P2P réseaux), de la démographie, et de la biologie. [A large number of questions in fields like biology, demography or telecommunications may be modeled as continuous-time multi-type branching processes. We focus on a particular class of such branching processes, called the Markovian binary trees (MBTs). These are stochastic processes controlled by a Markovian arrival process.The main goal of the project is to answer several questions about the MBT by developing numerical resolution methods, emphasizing on their probabilistic interpretation, with the help of matrix analytic methods and branching processes theory. Some examples of interesting questions with many applications are - the extinction probability of the MBT, - the distribution of the time until its extinction -behavior of the process in presence of immigration, catastrophes and/or random environment, -the number of particles alive at some time, - the distribution of the total progeny of the process until extinction, provided this extinction occurs, - the model of the MBT in telecommunications (P2P networks), demography, and biology.]