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Faculté des Sciences Appliquées |
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Mécanique Rationnelle 2e candidature 2005-2006 |
TRAVAUX PRATIQUES MATLABSemaine du 13 février au 20 février |
Remarque : ce projet a
été donné il y a deux ans. Les corrigés qui vous sont fournis vous donnent un exemple du cheminement
intellectuel à faire pour résoudre un tel projet. Ils ne constituent pas un exemple du rapport de projet
proprement dit. Le site du service propose quelques exemples de tels
rapports. |
1. |
On demande : -
de
calculer quel est le meilleur angle de rentrée de la station dans
l’atmosphère, en sachant que les opérateurs ont le choix entre faire plonger
la sonde à pic c’est-à-dire à angle droit par rapport à l’orbite circulaire
et la faire rentrer quasi tangentiellement à l’orbite circulaire,
c’est-à-dire jusqu’à un angle de 10 ° rentrant par rapport à la tangente à la
trajectoire circulaire. On notera toutefois que faire plonger à pic la
station ne permettrait pas de la récupérer en bon état; on essayera
d’incliner la trajectoire le plus possible. Pour chaque angle de rentrée, on
donnera au bout de combien de temps la sonde atteint le sol. On prendra comme
norme de la vitesse au moment d’enclencher la descente : 9.5386 km/s. - solution -
Sachant
que la station ne peut supporter au maximum que 10g, toutes les rentrées
sont-elles possibles ? Que pourriez-vous imaginer comme
stratagème ? - solution Solution à la question 1
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ cette équation projetée sur les axes x
et y donne :
On notera la modélisation de la portance qui vise à avoir toujours cette dernière pointant vers l’extérieur (et non pas le centre de la Terre) quel que soit le cadran pour une trajectoire de la navette dans le sens antihorlogique. Pour la modélisation
MATLAB, on pose y(1)=x ; y(2)=dx/dt ;y(3)=y ;y(4)=dy/dt (voir plus
loin). Ce projet met
en évidence le phénomène de rebond sur les couches hautes de l’atmosphère
ainsi que le phénomène de ralentissement atmosphérique. Selon les
circonstances, la navette fait une rentrée balistique ou rebondit sur les
couches hautes. Dans ce dernier cas, soit il repart dans une orbite
elliptique de manière définitive, soit le ralentissement atmosphérique le
fait tout de même s’écraser sur Terre. La rentrée atmosphérique est possible jusqu’à 24° (Figure 1).Au-delà, apparaît la fameux phénomène de
rebondissement sur les couches hautes de l’atmosphère qui apparaît déjà à 26°
Figure
2). Dans la réalité, l’angle limite est de 6 ° mais
ici CL a été sous-évalué à dessein. A 72 °, on a un phénomène
multi-rebond spectaculaire comme en témoigne la Figure 3. La Figure 4 donne le temps d’impact en fonction de l’angle
d’attaque. Il y a un moment où il n’y
a plus d’impact, c’est ce qui explique le plateau dans la simulation (on
arrive au bout du temps d’intégration programmé ; la sonde est en fait à
nouveau soumise à une orbite elliptique autour de la Terre). Figure 4
Figure 5 clear figure('Name','HERMES','Renderer','OpenGL','Color','w','Position',[40 40 500
500]); vitesse_initiale=9.5386; for
j=2:2:90 % on
teste différents angles de rentrée options = odeset('Events',@events1,'RelTol',1e-9); [t,y] = ode45(@projet3_sub,[0 32000],[(6378+800)
-vitesse_initiale*cos(j/180*pi) 0 vitesse_initiale*sin(j/180*pi)], options); for i=1:37
cercle_x(i)=6378*cos(i*10/360*2*pi); % il y a plus simple pour dessiner le contour de la
Terre cercle_y(i)=6378*sin(i*10/360*2*pi);
% il y a plus simple
pour dessiner le contour de la Terre end plot(y(:,1),y(:,3),'r-') % trajectoire de HERMES line(cercle_x,cercle_y,'LineWidth',2) % dessin proprement dit de la surface de la Terre Title(['Trajectoire HERMES - Angle de rentrée=',num2str(j),'°']);box on;grid on; ylabel(['y km']); xlabel(['x km']); drawnow; t_impact(j/2)=t(end); end dlmwrite('c:\projet_rentree.atmosphere.txt',t_impact,';') % on sauve les résultats dans un fichier texte pour
traitement ultérieur function z = projet3_sub(t,y); z=zeros(4,1); MuE=3.986e5; D=1e-5/(2*77000); L=D*1; r=sqrt(y(1)^2+y(3)^2); v=sqrt(y(2)^2+y(4)^2); Altitude=sqrt(y(1)^2+y(3)^2)-6378; if Altitude <
90 rho=1.225*1e9*exp(-0.1385*Altitude); else rho=18.739*1e12/exp(4.411*log(10.01*Altitude-751.44)); end z(1) = y(2); z(2) =
-MuE*y(1)/r^3-D*rho*v*y(2)+sign(y(1))*L*rho*v*abs(y(4)); z(3)=y(4); z(4)=-MuE*y(3)/r^3-D*rho*v*y(4)+sign(y(3))*L*rho*v*abs(y(2)); function [value,isterminal,direction] = events1(t,y) value = sqrt(y(1)^2+y(3)^2)-6378; isterminal =
1; % Stop the
integration direction =
0; % Negative
direction only Solution à la question 2
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Figure 8 (attention aux problèmes numériques –
clairs sur la figure mais non
investigués dans le cadre de rapide corrigé) Les rebonds
ont le fâcheux inconvénient de créer de fortes accélérations à la limite de
la conception : il faudrait vérifier que les valeurs numériques sont
exactes et qu’il n’y a pas de problèmes d’intégrations (Figure 6). Un stratagème pourrait être d’ouvrir un
parachute. Les deux
derniers graphes de la Figure
6 donnent en fonction du temps l’altitude et
l’accélération. Les Figure 7 et Figure
8 montrent le cas où la navette n’arrive pas à
rentrer dans l’atmosphère et la cas où la navette finit pas subir l’influence
du ralentissement atmosphérique pour finir par s’écraser sur la Terre. On peut se
poser la question de l’origine exacte du rebond. Si on pense que c’est dû à
la densification soudaine de l’atmosphère pour des altitudes inférieures à 90
km, un bon moyen de tester cette hypothèse est de garder une même loi de
variation de densité en-dessous et au-dessus de 90 km et de vérifier si le
rebond est toujours présent. C’est ce type de raisonnement qu’il faut
appliquer dans le projet. clear vitesse_initiale=9.5386; for j=2:2:90 options = odeset('Events',@events1,'RelTol',1e-9); [t,y] = ode45(@projet3_sub,[0:1:32000],[(6378+800)
-vitesse_initiale*cos(j/180*pi) 0 vitesse_initiale*sin(j/180*pi)], options); figure('Name','Skylab','Position',[10 50 500
650]); %
axis([-12000 12000 -12000 12000]);hold on; for i=1:37 cercle_x(i)=6378*cos(i*10/360*2*pi); cercle_y(i)=6378*sin(i*10/360*2*pi); end Radius=sqrt(y(:,1).*y(:,1)+y(:,3).*y(:,3)); Altitude=Radius-6378; subplot(3,1,1);plot(y(:,1),y(:,3),'r-');line(cercle_x,cercle_y,'LineWidth',2) Title(['Trajectoire HERMES - Angle de rentrée=',num2str(j),'°']);box on;grid on; ylabel(['y km']); xlabel(['x km']); drawnow; t_impact(j/2)=t(end); acceleration_x=diff(y(:,2)); acceleration_y=diff(y(:,4)); Altitude=sqrt(y(:,1).^2+y(:,3).^2)-6378; subplot(3,1,2);plot(t(:),Altitude(:)) Title(['Trajectoire HERMES - Altitude en fonction du temps']);box on;grid on; ylabel(['y km']); xlabel(['t(s)']); subplot(3,1,3);plot(t(2:end),sqrt(acceleration_y(:).^2+acceleration_x(:).^2)) Title(['Trajectoire HERMES - Accelération en fonction du temps']);box on;grid on; ylabel(['km/s2']); xlabel(['t(s)']); end |
Rentrée dans l’Atmosphère de la Navette HERMES
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