Faculté des

Sciences

Appliquées

 

Mécanique Rationnelle

2e candidature 2005-2006

TRAVAUX PRATIQUES MATLAB

Semaine du 13 février au 20 février

 

 

Remarque : ce projet a été donné il y a deux ans. Les corrigés qui vous  sont fournis vous donnent un exemple du cheminement intellectuel à faire pour résoudre un tel projet.  Ils ne constituent pas un exemple du rapport de projet proprement dit. Le site du service propose quelques exemples de tels rapports.

 

1.

On demande :

-         de calculer quel est le meilleur angle de rentrée de la station dans l’atmosphère, en sachant que les opérateurs ont le choix entre faire plonger la sonde à pic c’est-à-dire à angle droit par rapport à l’orbite circulaire et la faire rentrer quasi tangentiellement à l’orbite circulaire, c’est-à-dire jusqu’à un angle de 10 ° rentrant par rapport à la tangente à la trajectoire circulaire. On notera toutefois que faire plonger à pic la station ne permettrait pas de la récupérer en bon état; on essayera d’incliner la trajectoire le plus possible. Pour chaque angle de rentrée, on donnera au bout de combien de temps la sonde atteint le sol. On prendra comme norme de la vitesse au moment d’enclencher la descente : 9.5386 km/s. - solution

-         Sachant que la station ne peut supporter au maximum que 10g, toutes les rentrées sont-elles possibles ? Que pourriez-vous imaginer comme stratagème ? - solution

 

 

Solution à la question 1

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

 

cette équation projetée sur les axes x et y donne :

 

 

On notera la modélisation de la portance qui vise à avoir toujours cette dernière pointant vers l’extérieur (et non pas le centre de la Terre) quel que soit le cadran pour une trajectoire de la navette dans le sens antihorlogique.

 

Pour la modélisation MATLAB, on pose y(1)=x ; y(2)=dx/dt ;y(3)=y ;y(4)=dy/dt (voir plus loin).

 

Ce projet met en évidence le phénomène de rebond sur les couches hautes de l’atmosphère ainsi que le phénomène de ralentissement atmosphérique.

 

Selon les circonstances, la navette fait une rentrée balistique ou rebondit sur les couches hautes. Dans ce dernier cas, soit il repart dans une orbite elliptique de manière définitive, soit le ralentissement atmosphérique le fait tout de même s’écraser sur Terre.

 

La rentrée atmosphérique est possible jusqu’à 24° (Figure 1).Au-delà, apparaît la fameux phénomène de rebondissement sur les couches hautes de l’atmosphère qui apparaît déjà à 26° Figure 2). Dans la réalité, l’angle limite est de 6 ° mais ici CL a été sous-évalué à dessein. A 72 °, on a un phénomène multi-rebond spectaculaire comme en témoigne la Figure 3.

 

Figure 1

Figure 2

 

Figure 3

La Figure 4 donne le temps d’impact en fonction de l’angle d’attaque. Il  y a un moment où il n’y a plus d’impact, c’est ce qui explique le plateau dans la simulation (on arrive au bout du temps d’intégration programmé ; la sonde est en fait à nouveau soumise à une orbite elliptique autour de la Terre).

 

Figure 4

 

Angle(°)

T_impact(s)

Angle(°)

T_impact(s)

Angle(°)

T_impact(s)

Angle(°)

T_impact(s)

Angle(°)

T_impact(s)

2

81.666

22

89.2752

42

711.2806

62

1122.1068

82

32000

4

81.8571

24

91.3772

44

734.194

64

1229.1137

84

32000

6

82.1579

26

559.8365

46

759.0028

66

1399.5027

86

32000

8

82.5715

28

576.6859

48

786.6254

68

1666.7697

88

32000

10

83.102

30

594.0479

50

818.2474

70

2300.1575

90

32000

12

83.7547

32

611.9193

52

854.8311

72

6809.4311

 

 

14

84.537

34

630.3689

54

894.9285

74

32000

 

 

16

85.459

36

649.4234

56

938.8969

76

32000

 

 

18

86.5353

38

669.1565

58

988.5549

78

32000

 

 

20

87.7899

40

689.7142

60

1047.3269

80

32000

 

 

Figure 5

 

clear

figure('Name','HERMES','Renderer','OpenGL','Color','w','Position',[40 40 500 500]);

vitesse_initiale=9.5386;

for j=2:2:90 % on teste différents angles de rentrée

options = odeset('Events',@events1,'RelTol',1e-9);

[t,y] = ode45(@projet3_sub,[0 32000],[(6378+800) -vitesse_initiale*cos(j/180*pi) 0 vitesse_initiale*sin(j/180*pi)], options);

for i=1:37

    cercle_x(i)=6378*cos(i*10/360*2*pi); % il y a plus simple pour dessiner le contour de la Terre

    cercle_y(i)=6378*sin(i*10/360*2*pi); % il y a plus simple pour dessiner le contour de la Terre

end

plot(y(:,1),y(:,3),'r-') % trajectoire de HERMES

line(cercle_x,cercle_y,'LineWidth',2) % dessin proprement dit de la surface de la Terre

Title(['Trajectoire HERMES - Angle de rentrée=',num2str(j),'°']);box on;grid on;

ylabel(['y km']);

xlabel(['x km']);

drawnow;

t_impact(j/2)=t(end);

end

dlmwrite('c:\projet_rentree.atmosphere.txt',t_impact,';') % on sauve les résultats dans un fichier texte pour traitement ultérieur

 

function z = projet3_sub(t,y);

z=zeros(4,1);

MuE=3.986e5;

D=1e-5/(2*77000);

L=D*1;

r=sqrt(y(1)^2+y(3)^2);

v=sqrt(y(2)^2+y(4)^2);

Altitude=sqrt(y(1)^2+y(3)^2)-6378;

if Altitude < 90

    rho=1.225*1e9*exp(-0.1385*Altitude);

else

    rho=18.739*1e12/exp(4.411*log(10.01*Altitude-751.44));

end   

z(1) = y(2);

z(2) = -MuE*y(1)/r^3-D*rho*v*y(2)+sign(y(1))*L*rho*v*abs(y(4));

z(3)=y(4);

z(4)=-MuE*y(3)/r^3-D*rho*v*y(4)+sign(y(3))*L*rho*v*abs(y(2));

 

function [value,isterminal,direction] = events1(t,y)

value = sqrt(y(1)^2+y(3)^2)-6378;   

isterminal = 1;   % Stop the integration

direction = 0;   % Negative direction only

 

Solution à la question 2

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

Figure 6

 

 

Figure 7

Figure 8 (attention aux problèmes numériques – clairs sur la  figure mais non investigués dans le cadre de rapide corrigé)

Les rebonds ont le fâcheux inconvénient de créer de fortes accélérations à la limite de la conception : il faudrait vérifier que les valeurs numériques sont exactes et qu’il n’y a pas de problèmes d’intégrations (Figure 6). Un stratagème pourrait être d’ouvrir un parachute.

 

Les deux derniers graphes de la Figure 6 donnent en fonction du temps l’altitude et l’accélération.

 

Les Figure 7 et Figure 8 montrent le cas où la navette n’arrive pas à rentrer dans l’atmosphère et la cas où la navette finit pas subir l’influence du ralentissement atmosphérique pour finir par s’écraser sur la Terre.

 

On peut se poser la question de l’origine exacte du rebond. Si on pense que c’est dû à la densification soudaine de l’atmosphère pour des altitudes inférieures à 90 km, un bon moyen de tester cette hypothèse est de garder une même loi de variation de densité en-dessous et au-dessus de 90 km et de vérifier si le rebond est toujours présent. C’est ce type de raisonnement qu’il faut appliquer dans le projet.

 

clear

vitesse_initiale=9.5386;

for j=2:2:90

options = odeset('Events',@events1,'RelTol',1e-9);

[t,y] = ode45(@projet3_sub,[0:1:32000],[(6378+800) -vitesse_initiale*cos(j/180*pi) 0 vitesse_initiale*sin(j/180*pi)], options);

figure('Name','Skylab','Position',[10 50 500 650]);

% axis([-12000 12000 -12000 12000]);hold on;

for i=1:37

    cercle_x(i)=6378*cos(i*10/360*2*pi);

    cercle_y(i)=6378*sin(i*10/360*2*pi);

end

Radius=sqrt(y(:,1).*y(:,1)+y(:,3).*y(:,3));

Altitude=Radius-6378;

subplot(3,1,1);plot(y(:,1),y(:,3),'r-');line(cercle_x,cercle_y,'LineWidth',2)

Title(['Trajectoire HERMES - Angle de rentrée=',num2str(j),'°']);box on;grid on;

ylabel(['y km']);

xlabel(['x km']);

drawnow;

t_impact(j/2)=t(end);

acceleration_x=diff(y(:,2));

acceleration_y=diff(y(:,4));

Altitude=sqrt(y(:,1).^2+y(:,3).^2)-6378;

subplot(3,1,2);plot(t(:),Altitude(:))

Title(['Trajectoire HERMES - Altitude en fonction du temps']);box on;grid on;

ylabel(['y km']);

xlabel(['t(s)']);

subplot(3,1,3);plot(t(2:end),sqrt(acceleration_y(:).^2+acceleration_x(:).^2))

Title(['Trajectoire HERMES - Accelération en fonction du temps']);box on;grid on;

ylabel(['km/s2']);

xlabel(['t(s)']);

end

 

 

 

 

 

Rentrée dans l’Atmosphère de la Navette HERMES

 

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