projet 1 matlab

Faculté des

Sciences

Appliquées

Mécanique Rationnelle

2e candidature 2005-2006

TRAVAUX PRATIQUES MATLAB

Semaine du 6 février au 10 février

Une table est animée d’un mouvement d’oscillation A.sin(wt). Une balle est initialement au repos sur la table. Le coefficient de restitution est a. Le coefficient de restitution est défini par la relation :
ou est la vitesse après impact et la vitesse avant impact dans le système de référence de la table en mouvement.

On demande

4. De représenter le graphe en fonction du temps de la variation de hauteur de la balle et de la table et le plan des phases correspondant. On fera varier la valeur A de l’amplitude entre 6 et 17, on prendra comme valeur de w=1 et comme coefficient de restitution a=0.8.

Dessin dans la plan des phases (code)

Dessin dans le plan des phases (résultats)

Suggestions pour pousser l’étude plus loin :influence du coefficient de restitution

Dessin dans le plan des phases (code)

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

clear

global A omega ydot_initial y_initial g

options = odeset('Events','event_rebond','RelTol',1e-13);

omega=1;g=10;alpha=0.8;

t_max1=(pi/2+0*pi)/omega;

t_max2=(pi/2+2*pi)/omega;

ydot_initial=(alpha*g*t_max1-g*(t_max2-t_max1)/2)/alpha;

y_initial=A*sin(omega*t_max1)+g*t_max1^2/2-ydot_initial*t_max1;

for A=1:1:17 % on teste différentes valeurs de A amplitude de vibration table

figure('NumberTitle','on','Name','TP Matlab semaine 6/2 au 10/2/2006 - Projet Table Vibrante','Renderer','OpenGL','Color','w','Position',[100 100 500 500])

subplot(2,1,1);hold on

title('Trajectoire en fonction du temps');

xlabel('Temps (s)');ylabel('y (m)');axis([0 250 -30 100])

subplot(2,1,2);hold on

title('Visualisation du mouvement');

xlabel('y(m)');ylabel('dy/dt (m/s)');

subplot(2,1,1); title(['A.\omega.\omega/g =',num2str(A*omega*omega/g)]);subplot(2,1,2);

for i=1:45 % Nombre de rebonds

if i==1

t_initial=0;y_0=y_initial; ydot_0=ydot_initial;

else

ydot_0 =-alpha*y(end,2)+(1+alpha)*A*omega*cos(omega*t(end));

y_0=A*sin(omega*t(end));

t_initial=t(end);

end

[t,y] = ode45(@rebond_eq,[t_initial:0.15:t_initial+100],[y_0 ydot_0],options);

% début du dessin

subplot(2,1,1);plot(t(:),y(:,1),'r-');hold on;plot(t(:),A*sin(omega*t(:)));hold on;grid on ;

if i>20 % tracé du plan des phases qu’au 10 ème rebond pour éviter les transitoires

subplot(2,1,2);plot(y(:,1),y(:,2));hold on;grid on

end

hold off;

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Dessin dans le plan des phases (résultalt)

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Ñ Ñ Ñ ATTENTION Ñ Ñ Ñ

Ici il y a un problème numérique qu’il y a lieu d’interpréter : la balle file en dessous de la table. Il faut tout d’abord bien préciser que ce phénomène n’est PAS PHYSIQUE. Faire une confiance aveugle à la simulation numérique induit donc de sérieux risques d’erreurs….

Un zoom sur le dessin permet de mieux comprendre. La balle est quasiment à l’arrête et sa position est confondue avec la table. L’imprécision numérique aidant, elle a son ordonnée sans doute très légèrement (epsilon) en dessous de la table ce qui lui permet alors de tomber indéfiniment vers le centre de la terre puisque la condition de stop de l’intégration numérique ne s’applique plus….

Un examen plus approfondi du code montre que c’est la ligne :

[t,y] = ode45(@rebond_eq,[t_initial:0.15:t_initial+100],[y_0 ydot_0],options);

code qui ets en cause ; plus on réduit me 0.15 de pas d’intégration retenu, moins ce phénomène purement nuémroqie apparâît. ESSAYEZ !!!!

Ñ Ñ Ñ ATTENTION Ñ Ñ Ñ

Un examen plus approfondi du code montre que c’est la ligne :

[t,y] = ode45(@rebond_eq,[t_initial:0.15:t_initial+100],[y_0 ydot_0],options);

code qui ets en cause ; plus on réduit me 0.15 de pas d’intégration retenu, moins ce phénomène purement nuémroqie apparâît. ESSAYEZ !!!!

Ñ Ñ Ñ ATTENTION Ñ Ñ Ñ

Un examen plus approfondi du code montre que c’est la ligne :

[t,y] = ode45(@rebond_eq,[t_initial:0.15:t_initial+100],[y_0 ydot_0],options);

code qui ets en cause ; plus on réduit me 0.15 de pas d’intégration retenu, moins ce phénomène purement nuémroqie apparâît. ESSAYEZ !!!!

Ñ Ñ Ñ ATTENTION Ñ Ñ Ñ

Un examen plus approfondi du code montre que c’est la ligne :

[t,y] = ode45(@rebond_eq,[t_initial:0.15:t_initial+100],[y_0 ydot_0],options);

code qui ets en cause ; plus on réduit me 0.15 de pas d’intégration retenu, moins ce phénomène purement nuémroqie apparâît. ESSAYEZ !!!!

® INTERPRETATION ¬

L’utilisation du plan des phases met bien en évidence le fait que le rebond est périodique ; on a une trace sur laquelle toutes les trajectoires du plan des phases se superposent….

D’où aussi l’intérêt de ne pas tracer le plan des phases dès le rebond n°1 ; le code attend plusieurs dizaines de rebonds avant de procéder au dessin, ceci pour éviter que les transitoires ne viennent introduire des traces parasites.

® INTERPRETATION ¬

Doublement de fréquence ! Bizarre alors que la table vibrante est toujours à la même fréquence…Typique d’une montée vers un mouvement chaotique….

® INTERPRETATION ¬

Mouvement chaotique….En fait, en prenant des valeurs intermédiaires entre A w.w/g=1.2 et A w.w/g=1.3, on aurait probablement mis en évidence du triplement, quadruplement de période (non vérifié)

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Influence du coefficient de restitution

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alpha=1

® INTERPRETATION ¬

Apparition d’un phénomène de battement…..

® INTERPRETATION ¬

Est-ce vraiment physiquement réaliste…Pourrait-on imaginer que la balle atteint vraiment 14 km d’altitude !!!Ne fût-ce que le frottement de l’air s’y opposera et, dans sa chute vers la table, le frottement de l’air proportionnel à la vitesse au carré va empêcher la balle d’arriver avec la vitesse que la simulation, qui ne tient pas compte de ce frottement semble lui donner.

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