Faculté des Sciences Appliquées
Mécanique Rationnelle 2e bachelier 2008-2009		TRAVAUX PRATIQUES MATLAB Octobre 2008

Remarque : ce projet a été donné il y a deux ans. Les corrigés qui vous sont fournis vous donnent un exemple du cheminement intellectuel à faire pour résoudre un tel projet. Ils ne constituent pas un exemple du rapport de projet proprement dit. Le site du service propose quelques exemples de tels rapports.

1.

Une table est animée d’un mouvement d’oscillation A.sin(wt). Une balle est initialement au repos sur la table. Le coefficient de restitution est a. Le coefficient de restitution est défini par la relation : ou est la vitesse après impact et la vitesse avant impact dans le système de référence de la table en mouvement. On demande Sous quelle condition la balle va adopter un mouvement indépendant de la table (en d’autres termes, quand décolle-t-elle ?) - Solution Sous quelles conditions initiales la balle aura ses deux premiers rebonds qui coïncident avec la table passant par son maximum de hauteur dans son mouvement d’oscillation. - Solution De modéliser par Matlab le mouvement de la table et de la balle pour les conditions initiales trouvées en 2. - Solution De représenter le graphe en fonction du temps de la variation de hauteur de la balle et de la table et le plan des phases correspondant. On fera varier la valeur A de l’amplitude entre 6 et 17, on prendra comme valeur de w=1 et comme coefficient de restitution a=0.8. - Solution De tracer la section de Poincaré du mouvement pour des valeurs de A qui caractérisent les différent types de mouvement trouvés à la question 4. On prendra comme critère de plan de section l’instant des rebonds de la balle sur la table (ce qui revient à dire qu’on trace sur un plan des phases (dy/dt,y) uniquement les valeurs y(t*)=A.sin(w t*) et dy/dt(t*) où t* est l’instant de rebond). Une meilleure esthétique du plan de poincaré est obtnenue en utilisant mod(wt(*),2*p/ w). Que peut-on conclure de la comparaison de la section de Poincaré pour une petite amplitude et une grande amplitude du mouvement.- Solution Voir les simulations ci-dessous (mouvement chaotique/transition vers le chaos/mouvement non chaotique/sensibilité aux conditions initiales )

Télécharger l’executable
(fichier .exe et .ctf doivent être au même endroit et MCRInstaller.exe doit avoir été installé au préalable)

ulb_family_day_mai_12_final.exe

ulb_family_day_mai_12_final.ctf

Télecharger le code source

ulb_family_day_mai_12_final.fig

ulb_family_day_mai_12_final.m

Table Vibrante : le mouvement n’est pas chaotique

Table Vibrante : le mouvement n’est pas chaotique mais la période du mouvement a doublé

à savoir la balle repasse par la hauteur extrémale tous les deux rebonds.

Le changement de période, alors que la période du mouvement excitateur ne change pas (la table vibrante) est typique

de la transition vers le chaos

Table Vibrante : le mouvement est chaotique (car l’amplitude et/ou la fréquence de la table a monté)

Table Vibrante : EXACTEMENT les mêmes conditions initiales et les mêmes valeurs de A et de w.

Et pourtant le mouvement n’est pas le même ; c’est une autre caractéristique du chaos : la sensibilité aux conditions initiales

qui fait que la précision forcément (au niveau des nombres de chiffres après la virgule) limitée des variables stockée sur un ordinateur

provoque une divergence du mouvement simulé pour des CI les mêmes au départ !

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