Deux mesures sont indispensables pour décrire une variable quantitative : la mesure de la position centrale des observations et la mesure de leur dispersion.

LES MESURES DE TENDANCE CENTRALE

Il existe 3 mesures de tendance centrale : la Moyenne, la Médiane et le Mode, chacune présentant ses avantages et ses inconvénients.

La moyenne représente la mesure la plus courante de tendance centrale des observations. Elle se calcule en additionnant les valeurs observées de chaque individu divisées par le nombre de sujets observés :

Exemple 2 :

La médiane correspond à l'observation du milieu, c'est-à-dire la valeur de part et d'autre de laquelle se situe la moitié des observations. Pour la mesurer, on établit la liste des observations individuelles par ordre croissant ou décroissant. La position de la médiane se calcule de manière suivante :

Dans l'exemple 2 où n est IMPAIR, la médiane est de 174 cm.
En effet, la médiane correspond à la troisième valeur : 5+1/2 = 3 et lorsqu'on classe les valeurs par ordre croissant :
171, 172, 174, 176, 177, cette valeur est 174 cm.

Dans l'exemple 3 où n est PAIR, la médiane est de 175 cm.
La médiane correspond à la moyenne arithmétique de la 3ème et 4ème valeur : 174+176/2 = 175.

En général, on préfère utiliser la moyenne à la médiane parce que la moyenne est calculée en utilisant un maximum d'informations de toutes les observations. En effet, le calcul de la moyenne fait intervenir les valeurs de toutes les observations alors que la médiane représente l'information d'une seule observation. De plus, une partie importante des tests statistiques repose sur la moyenne.
Toutefois, le désavantage de la moyenne est qu'elle est très sensible aux valeurs extrêmes alors que la médiane ne l'est pas du tout comme le montre l'exemple suivant.

Exemple 3 :
nous reprenons notre exemple 1 auquel nous rajoutons un étudiant mesurant 220 cm.

Ainsi, la moyenne n'est pas une bonne mesure lorsque les observations sont distribuées d'une manière trop asymétrique. Dans ce cas, il est préférable d'utiliser la médiane.

Le mode d'une série d'observations est la valeur la plus fréquente d'un ensemble de données. Le mode est rarement employé seul pour mesurer la tendance centrale, parce qu'avec un petit nombre d'observations, comme c'est le cas dans notre exemple, chaque valeur est unique. Dans ce cas, il n'y a pas de mode.

MESURE DE LA DISPERTION OU DE LA VARIABILITE DES OBSERVATIONS

L'étendue mesure l'écart entre la valeur la plus élevée et la plus petite. Par exemple, l'étendue de la taille des 6 étudiants est de 220 cm - 171 cm = 49 cm. Bien qu'elle soit facile à calculer et à comprendre, cette mesure de dispersion présente un certain nombre de désavantages. Premièrement, la valeur de l'étendue a tendance à augmenter avec la taille de l'échantillon. Ensuite, puisqu'elle est calculée à partir des valeurs extrêmes, sa valeur peut être étendue même si les valeurs de la majorité des observations sont proches les unes des autres. De plus, elle est inutilisable pour les tests statistiques. On préférera donc une mesure qui tienne compte de la totalité des observations.

Ces deux mesures représentent les mesures de variabilité les plus courantes et les plus instructives. Elles mesurent la dispersion de chaque observation autour de la moyenne. La variance se calcule d'abord en faisant la différence entre chaque observation et la moyenne . Ces différences sont ensuite élevées au carré afin que les chiffres positifs et négatifs ne s'annulent pas. On additionne ensuite ces écarts élevés au carré . La somme des carrés des écarts est alors divisée par le nombre total d'observations moins une (n-1).

ou

Exemple 4 :
en reprenant notre exemple, le calcul de la variance de la taille des 5 étudiants est :

Variance (V) : 26/(5-1)= 6,5

La déviation standard (ds) est simplement la racine carrée de la variance :
Ainsi, dans notre exemple, nous pouvons décrire la distribution de la taille en donnant la moyenne 174 ± 2,55 de déviation standard.

3. Ecart interquartile (EIQ)

Q1 = observation telle que 25% des sujets lui sont inférieurs.
Q2 = médiane.
Q3 = observation telle que 75% des sujets lui sont inférieurs.

Pour des distributions symétriques, la moyenne et la déviation standard constituent une information suffisante pour décrire l'ensemble des observations. Pour les distributions asymétriques, on choisira de préférence la médiane et l'étendue comme mesure de variabilité.

Le plus souvent :

• Moyenne et déviation standard

• Médiane et EIQ